tính toán các thành phần eigenvector của một vectơ đã cho

Tôi có một số vectơ $V$ có thể được phân tách vào không gian eigens của toán tử thưa Hermiti $M$ :

$V = \sum_i v_i \hat{m}_i$

Có cách nào để tìm (chính hàm riêng) tương ứng với lớn nhất (tính theo độ lớn) không?v$\hat{m}_i$$v_i$

Về cơ bản, tôi muốn có một vài điều khoản lớn nhất trong số tiền, bao gồm cả người bản địa của , điều mà tôi không biết trước.$M$

Cụ thể, tôi muốn tìm đồng thời các hàm riêng của tương ứng với lớn nhất, cùng với việc tìm kiếm lớn nhất . Tốt nhất là không tìm thấy toàn bộ quang phổ của trước.| v i | v i$M$$|v_i|$$v_i$$M$

Một số khả năng mà tôi đã suy nghĩ về:

Chúng ta có thể "thổi phồng" ma trận bằng cách sử dụng ngược lại với "Giảm phát của Wieldant":

$M_1 = M + \sigma \left[ \Sigma_i v_i \hat{m}_i \right] V^H = M + \sigma V V^H$

Các giá trị riêng cho khác nhau được thay đổi . Tôi tin rằng sau đó chúng tôi có thể trích xuất và vì các hàm riêng không thay đổi. Vấn đề là sản phẩm bên ngoài của dày đặc.λi+σ| vi| 2σvi$\hat{m}_i$$\lambda_i + \sigma |v_i|^2$$\sigma$$v_i$$V$

khả năng khác:

Phương thức lũy thừa (tiếp tục nhân với vectơ của chúng ta cho đến khi hội tụ) tìm thành phần của có giá trị riêng lớn nhất. Nhược điểm của phương pháp này là chúng tôi không kiểm soát độ lớn của , vì vậy cuối cùng chúng tôi sẽ tìm thấy TẤT CẢ các thành phần, và sau đó tìm ra phần lớn nhất.V V v $M$$V$$V$$v_i$

Có cách nào để kiểm soát điều này để chúng ta chỉ hội tụ thành phần lớn nhất không?

Vì ma trận là ẩn sĩ, bạn có thể sử dụng nó như một hamiltonian để truyền bá nó trong thời gian tưởng tượng. Đó là, giải hệ phương trình vi phân sau:

Giải pháp chung cho vấn đề này là:

Sau đó, bạn lấy của bạn , Fourier transform nó, và chiều cao và vị trí của các đỉnh núi sẽ cho bạn biết các thành phần cùng vector riêng khác nhau và giá trị riêng liên quan đến họ. Điều này đôi khi được gọi là "phương pháp quang phổ" trong vật lý nguyên tử cực nhanh.$\vec{V(t)} \cdot \vec{V(0)}$

Một khi bạn có các giá trị riêng, hãy tìm các hàm riêng với bất kỳ bộ giải eigenvalue cụ thể nào bạn thích.

$\hat{M}$$M$$M$$\hat{M}$$v_{i}$$\hat{M}v = V$$i$$\max_{j}|v_{j}| = |v_{i}|$$i$$\hat{M}$$v_{i}$