đường chéo của ma trận - bỏ qua các phần tử ma trận nhỏ

Tôi đã tự hỏi liệu có một số định lý cho phép tôi đặt một giới hạn trên cho lỗi được đưa ra bằng cách bỏ qua các phần tử ma trận nhỏ từ một ma trận trước khi chéo.

Giả sử chúng ta có một ma trận lớn, có các phần tử ma trận nằm trong khoảng từ đến . Nếu tôi đặt tất cả các phần tử ma trận nhỏ hơn thành trước khi chéo hóa ma trận, thì lỗi sẽ lớn đến mức nào trong các giá trị riêng và hàm riêng?10 - 15 10 - $1$$10^{-15}$$10^{-10}$$0$

Là thực hiện này phụ thuộc?

Có một lĩnh vực nghiên cứu được gọi là phân tích độ nhạy eigenvalue hoặc phân tích nhiễu loạn eigenvalue cho phép bạn ước tính ảnh hưởng của nhiễu loạn ma trận nhỏ lên các giá trị riêng và hàm riêng. Kỹ thuật cơ bản sử dụng cho điều này là việc phân biệt các eigenvalue ma trận phương trình,

$$AX = X\Lambda.$$

Đối với các tình huống trong đó các giá trị riêng của ma trận gốc đều khác biệt, tài liệu sau đây có đạo hàm và kết quả rất rõ ràng:

Mike Giles. "Một tập hợp mở rộng các kết quả phái sinh ma trận để phân biệt thuật toán chế độ tiến và lùi". https://people.maths.ox.ac.uk/gilesm/files/NA-08-01.pdf

Khi giá trị riêng không khác biệt, cần phải cẩn thận hơn. Xem bài trình bày và giấy sau đây .

Đối với trường hợp đặc biệt của ma trận đối xứng với giá trị riêng biệt, tùy thuộc vào một sự thay đổi nhỏ Một → Một + d Một , kết quả là đủ đơn giản mà tôi sao chép chúng vào đây. Đạo hàm của eigenvalue ma trận là, d Λ = diag ( U T d Một U ) , và đạo hàm của ma trận eigenvector là, d U = U C ( d Một ) , nơi mà các hệ số ma trận $A=U \Lambda U^T$$A \rightarrow A + dA$

$$d\Lambda = \text{diag} (U^T dA U),$$ $$dU = UC(dA),$$ $C$được định nghĩa là, $$C = \begin{cases} \frac{u_i^T dA u_j}{\lambda_j - \lambda_i}, & i=j \\ 0, &i=j \end{cases}$$

Bài báo sau của Overton và Womersley có một phân tích độ nhạy tuyệt vời cho trường hợp đối xứng, bao gồm các dẫn xuất thứ hai.

Overton, Michael L. và Robert S. Womersley. "Các dẫn xuất thứ hai để tối ưu hóa giá trị riêng của ma trận đối xứng." Tạp chí SIAM về phân tích và ứng dụng ma trận 16.3 (1995): 697-718. http://ftp.cs.nyu.edu/cs/facemony/overton/ con / pdffiles / eeessess.pdf

Nó không phụ thuộc vào việc thực hiện theo nghĩa đây là một phép toán được thực hiện trên ma trận của bạn. Tuy nhiên, nó phụ thuộc rất nhiều vào ma trận .

$A=XDX^{-1}$$E$$X$

$$X^{-1}(A+E)X = D + X^{-1}EX.$$ $D$ $$\|E\| \kappa(X),$$ κ ( X $\|E\|$phụ thuộc vào độ lớn của các phần tử bạn thả và là số điều kiện của ma trận của hàm riêng.$\kappa(X)$

$A$$AA^t=A^tA$$X$$\kappa(X)=1$

$$\Lambda_\epsilon(A) = \{z \mid z \text{ is an eigenvalue of $A+E$ with $\|E\| \leq \epsilon$} \}.$$ $$\Lambda_\epsilon(A) = \{z \mid \|(zI-A)^{-1}\|\geq \epsilon^{-1} \}.$$ $\epsilon$$\kappa(X)$

Ở một khía cạnh nào đó, bỏ các phần tử ma trận nhỏ là tốt: chúng không quan trọng, và kết quả mới chính xác như ban đầu, hoặc chúng có vấn đề, và kết quả ban đầu của bạn cũng không chính xác như kết quả mới.