Hướng dẫn cho tiền điều kiện lồng nhau

Xem xét tình huống mà bạn muốn giải quyết một hệ thống tuyến tính bằng phương pháp Krylov tiền điều kiện, nhưng áp dụng chính điều kiện tiên quyết liên quan đến việc giải quyết một hệ thống phụ trợ, được thực hiện bằng một phương pháp Krylov tiền điều kiện khác.

• Ở một thái cực, bạn có thể chạy giải quyết bên trong để hội tụ trong mỗi bước của giải quyết bên ngoài.

• Ở một thái cực khác, bạn không thể thực hiện giải quyết bên trong, mà thay vào đó thay thế nó bằng điều kiện tiên quyết bên trong.

• Ở đâu đó ở giữa, bạn có thể cắt vòng lặp Krylov bên trong sau một số lần lặp cố định hoặc sau khi đạt được một dung sai nhất định.

Theo kinh nghiệm, tôi đã gặp các tình huống trong đó cực trị thứ nhất tốt hơn và các tình huống khác trong đó cực trị thứ hai tốt hơn (về tổng chi phí). Tuy nhiên, tôi không thể tìm thấy lý do rõ ràng tại sao một số tình huống nhất định ủng hộ chiến lược này hơn chiến lược khác.

Có bất kỳ hướng dẫn hoặc lý thuyết về khi các chiến lược khác nhau này là thích hợp hơn?

Câu hỏi này đã được mở từ lâu, nhưng tôi nghĩ nó vẫn xứng đáng được trả lời.

$\tilde x = K(A,P,\tau,N; b)$$K$$Ax=b$$N$$\tau$$P\approx A^{-1}$$K$$b$

$K(A,P,0,\infty;\cdot)$$Ax=b$$K(A,P,0,\infty;b)=A^{-1}b$$b$$b$$r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$$K(A,P,\tau,N; \cdot)$$N$$\tau$

$K(A,P,\tau,N; \cdot)$$A$

Điều này trái ngược với nhiều phương thức khác được sử dụng cho điều kiện tiên quyết: ví dụ: một bước SSOR là một hoạt động tuyến tính trên vectơ mà bạn áp dụng nó, cũng như tất cả các phương pháp khác áp dụng một bước của bước lặp điểm cố định.

Vấn đề cơ bản hiện nay là hầu hết các phương pháp không gian Krylov đều yêu cầu rằng điều kiện tiên quyết là một toán tử tuyến tính. Đơn giản là chúng sẽ không hội tụ nếu điều kiện tiên quyết không tuyến tính, giải thích sự quan sát của bạn. Mặt khác, có một số biến thể của một số phương pháp không gian Krylov - thường được bắt đầu bằng từ "Linh hoạt", chẳng hạn như F-GMRES trong "GMRES linh hoạt" - hoạt động xung quanh điều này và có thể xử lý các điều kiện tiên quyết không tuyến tính khai thác. Các biến thể linh hoạt của các phương thức ban đầu vẫn sẽ hội tụ và thường là các phương thức mạnh mẽ khi được kết hợp với các điều kiện tiên quyết tốt (nhưng phi tuyến).