Lặp lại Newton cho khối lập phương mà không phân chia

Đó là một thủ thuật khá nổi tiếng với bộ phận tránh trong việc tính toán vuông rễ để áp dụng phương pháp Newton để tìm $1/\sqrt{x}$ , và có lẽ được biết đến nhiều hơn, sử dụng phương pháp của Newton để tìm cácđối ứng mà không cần phân chia.

Khi giải cứu một luồng StackOverflow Tạo hạt lặp Newton cho gốc khối một cách hiệu quả từ thối liên kết, tôi nghĩ rằng một phép lặp không phân chia cho các khối lập phương cũng có thể.

Ví dụ, nếu chúng ta giải quyết:

$$x^{-3} = a^2$$

sau đó và 3 $x = a^{-2/3}$. Lặp lại Newton cho phương trình trên chỉ đơn giản là:$\sqrt[3]{a} = ax$

$$x_{n+1} = x_n - \frac{ x_n^{-3} - a^2 }{-3x_n^{-4}} = \frac{4}{3}x_n - \frac{1}{3}a^2 x_n^4$$

Một lần nữa, chúng tôi tránh các hoạt động phân chia, ít nhất là nếu các hằng số phân số được đánh giá trước cho phép nhân FP.

Vì vậy, một cái gì đó thuộc loại này là có thể, nhưng tôi đã không tìm thấy một cuộc thảo luận cụ thể về các phương pháp như vậy trong tìm kiếm (thừa nhận nông cạn) của tôi về Web. Hơn nữa, tôi nghi ngờ rằng một người thông minh đã phát hiện ra một ý tưởng tốt hơn và một trong những đồng nghiệp quý giá của bạn đã nhìn thấy nó hoặc nghĩ về nó.

Căn bậc ba gần như không quan trọng bằng căn bậc hai (ví dụ, để bình thường hóa vectơ), vì vậy đó có thể là lý do tại sao chúng được thảo luận ít hơn nhiều.

Nói chung, nếu bạn áp dụng phương pháp Newton để , bạn sẽ có được lặp đi lặp lại ( 1 - α - 1 ) x + $x^\alpha-\beta$ vì vậy bạn chỉ cần chọn phương trình sao choαlà số nguyên âm, nó không chỉ là khối lập phương và căn bậc hai, điều này cũng hoạt động cho các quyền lực hợp lý khác.

$$(1-\alpha^{-1})x+\frac\beta\alpha x^{1-\alpha},$$ $\alpha$

Lược đồ của bạn chỉ cần 7 lần lặp để hội tụ độ chính xác gấp đôi trên khoảng bắt đầu từ dự đoán ban đầu không đổi1:$a\in[\frac12,1]$$1$

Một điều thú vị khác cần xem xét là những gì các thư viện hiện có thực hiện:

• MPFR thực hiện các khối lập phương bằng cách sử dụng các số nguyên khối ( http://www.mpfr.org/algo.html , khoảng trang 36)
• Boost ( http://www.boost.org/doc/libs/1_57_0/libs/math/doc/html/math_toolkit/powers/cbrt.html , xem mã nguồn math/special_functions/cbrt.hpp) sử dụng phép lặp Halley với phép chia: $$x_{n+1} = x_n \frac{2b+x_n^3}{b+2x_n^3}.$$ $\sim20$div{s,p}{s,d}

$a^{-2/3}$$\frac13$$x^3-a$$[\frac12,1]$