Tìm căn bậc hai của ma trận Laplacian

11

Giả sử ma trận được đưa ra với chuyển vị của nó . Sản phẩm mang lại , $A$

[\begin{array}{ccc} 0.500 & - 0.333 & - 0.167 \\ - 0.500 & 0.667 & - 0.167 \\ - 0.500 & - 0.333 & 0.833 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc} 0.500 & -0.333 & -0.167\\ -0.500 & 0.667 & -0.167\\ -0.500 & -0.333 & 0.833\end{array}\right]$

A^{T}

$A^T$

A^{T} A = G

$A^TA=G$

[\begin{array}{ccc} 0.750 & - 0.334 & - 0.417 \\ - 0.334 & 0.667 & - 0.333 \\ - 0.417 & - 0.333 & 0.750 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc}0.750 & -0.334 & -0.417\\ -0.334 & 0.667 & -0.333\\ -0.417 & -0.333 & 0.750\end{array}\right]$

Trong đó là ma trận Laplacian . Lưu ý rằng các ma trận và là cấp bậc 2, với zero eigenvalue tương ứng với eigenvector . $G$ $A$ $G$ $1_n=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\end{array}\right]^T$

Tôi tự hỏi điều gì sẽ là cách để có được nếu chỉ có được đưa ra. Tôi đã thử eigendecro hóa , và sau đó đặt , nhưng thu được kết quả khác nhau. Tôi đoán điều này có liên quan đến sự thiếu thứ hạng. Ai đó có thể giải thích điều này? Rõ ràng, ví dụ trên là để minh họa; bạn có thể xem xét phân tách ma trận Laplacian chung của mẫu trên. $A$ $G$ $G=UEU^T$ $A'=UE^{1/2}$

Vì, ví dụ, phân tách Cholesky có thể được sử dụng để tìm , phân tách trên có thể mang lại nhiều giải pháp. Tôi đang quan tâm đến các giải pháp có thể được diễn tả như nơi là một nhận dạng ma trận, , và là một số vector thỏa mãn . Nếu nó đơn giản hóa vấn đề, bạn có thể cho rằng các mục của không âm. $G=LL^T$ $G$

A = (I - 1_{n} w^{T}),

$A=(I-1_nw^{T}),$

I

$I$

3 \times 3

$3\times 3$

1_{n} = [1 1 1]

$1_n=[1~ 1~ 1]$

w

$w$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$

w

$w$

linear-algebra matrix eigensystem

— người dùng
nguồn

Tôi nghĩ rằng nhận xét bạn đã thêm về đại diện của chỉ hữu ích một phần. Nó giả định rằng có chính xác một giá trị riêng bằng 0, nhưng tính không xác định luôn luôn ở đó, phải không?

A

$A$

— Wolfgang Bangerth

@WolfgangBangerth Tôi đang cố gắng tìm ra ý nghĩa của "không xác định". Nếu đó là

d e t (A) = 0

$det(A)=0$ , thì nó giữ cho ví dụ trên và tôi không chắc liệu nó có thể được khái quát hóa cho

. Tuy nhiên, ngoại trừ

, tôi nghi ngờ rằng giải pháp sẽ luôn tồn tại.

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

n = 3

$n=3$

— dùng

Không, ý tôi là giải pháp cho vấn đề của bạn không được xác định duy nhất. Tôi đã chỉ ra một thực tế rằng liệu ma trận có giá trị riêng không hay không thực sự không thay đổi thực tế rằng vấn đề căn bậc hai không có giải pháp duy nhất.

— Wolfgang Bangerth

11

Chúng ta có Ma trận Laplace ma trận trong đó có một tập hợp các giá trị riêng cho nơi chúng tôi luôn biết . Do đó, ma trận Laplacian luôn luôn đối xứng dương bán xác định. Vì ma trận $G=A^TA$ $\lambda_0\leq\lambda_1\leq\ldots\leq \lambda_n$ $G\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $\lambda_0 = 0$ $G$ không phải là đối xứng dương xác định, chúng ta phải cẩn thận khi thảo luận về sự phân rã Cholesky. Phân tách Cholesky tồn tại cho một ma trận bán xác định dương nhưng nó không còn là duy nhất. Ví dụ: ma trận bán xác định dương có vô số phân rã Cholesky

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}],

$A=\left[\!\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\!\right],$

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin θ & \cos θ \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & \sin θ \\ 0 & \cos θ \end{array}] = L L^{T} .

$A=\left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\right] = \left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \!\right] \left[\!\begin{array}{cc} 0 & \sin\theta \\ 0 & \cos\theta \end{array} \!\right]=LL^T.$

Tuy nhiên, bởi vì chúng ta có một ma trận được biết đến là một Ma trận Laplace chúng tôi thực sự có thể tránh được những công cụ đại số tuyến tính phức tạp hơn như phân tách Cholesky hoặc tìm căn bậc hai của ma trận bán xác định dương như vậy mà chúng ta phục hồi . Ví dụ: nếu chúng ta có ma trận Laplace , $G$ $G$ $A$ $G\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ chúng ta có thể sử dụng lý thuyết đồ thị để phục hồi ma trậnmong muốn. Chúng tôi làm như vậy bằng cách xây dựng ma trận tỷ lệ mắc theo định hướng. Nếu chúng ta xác định số cạnh trong biểu đồ làvà số đỉnh làthì ma trận tỷ lệ định hướngsẽ làma trậnđược cho bởi

G = [\begin{array}{cccc} 3 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right]$

A

$A$

m

$m$

n

$n$

A

$A$

m \times n

$m\times n$

trong đó

biểu thị cạnh kết nối các đỉnh

và

. Nếu chúng ta lấy một biểu đồ cho

có bốn đỉnh và ba cạnh, thì chúng ta có ma trận tỷ lệ mắc định hướng

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array}

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right.$

e = (v, w)

$e=(v,w)$

v

$v$

w

$w$

G

$G$

Và chúng ta có thể thấy rằng

. Đối với vấn đề ma trận bạn mô tả bạn sẽ xây dựng một đồ thị cho

với cùng số cạnh như đỉnh, sau đó bạn nên có khả năng tái tạo lại ma trận

khi bạn đang chỉ cho các Ma trận Laplace

.

A = [\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}],

$A = \left[\!\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\!\right],$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

Cập nhật:

Nếu chúng ta định nghĩa ma trận đường chéo của độ đỉnh của một đồ thị như và ma trận kề của đồ thị như , thì Ma trận Laplace của đồ thị được xác định bởi . Ví dụ: trong biểu đồ sau $N$ $M$ $G$ $G=N-M$

G = [\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right] - \left[\!\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

A

$A$

A

$A$

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array} .

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right..$

e_{1}

$e_1$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

A_{e_{1}, v_{1}}

$A_{e_1,v_1}$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v < w

$v<w$

A_{e v}

$A_{ev}$

A_{e_{1}, v_{1}} = 1

$A_{e_1,v_1} = 1$

A_{e_{1}, v_{2}} = - 1

$A_{e_1,v_2} = -1$

A

$A$

A = \begin{array}{ccccc} v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \\ e_{1} & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ e_{2} & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ e_{3} & 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array} .

$A = \begin{array}{c|cccc} & v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ \hline e_1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ e_2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ e_3 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}.$

$Gr$ $V$ $E$

w : V \times V \to R^{+},

$w: V\times V\rightarrow \mathbb{R}^+,$

u

$u$

v

$v$

w (u, v)

$w(u,v)$

u \in V

$u\in V$

u

$u$

d_{u} = \sum_{v \in V} w (u, v) .

$d_u = \sum_{v\in V}w(u,v).$

G r

$Gr$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

n \times n

$n\times n$

V

$V$

w (u, v)

$w(u,v)$

D (G r)

$D(Gr)$

V

$V$

G

$G$

G = D (G r) - A d (G r) .

$G = D(Gr) - Ad(Gr).$

G = [\begin{array}{ccc} \frac{3}{4} & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{12} & - \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{12} \\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \\ -\tfrac{5}{12} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{3}{4} \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$

A

$A$

A

$A$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

G

$G$

G = [\begin{array}{ccc} \frac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{11}{12} \end{array}] - [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}] = D (G r) - A d (G r) .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac{11}{12} \\ \end{array}\!\right]-\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{12} \\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\ \tfrac{5}{12} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \\ \end{array}\!\right] = D(Gr)-Ad(Gr).$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v_{3}

$v_3$

1 / 2

$1/2$

1 / 3

$1/3$

1 / 6

$1/6$

w

$w$

[\frac{1}{2}

$[\frac{1}{2}$

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$

\frac{1}{6}]^{T}

$\frac{1}{6}]^T$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T} = [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{5}{6} \end{array}] .

$A = I-1_nw^T = \left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{6} \\ \end{array}\!\right].$

$A$

— Andrew mùa đông
nguồn

A

$A$

G

$G$

O (n^{2})

$O(n^2)$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

1

G

$G$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

G

$G$

G = A^{T} A = (I - 1_{n} w^{T})^{T} (I - 1_{n} w^{T})

$G=A^TA=(I-1_nw^T)^T(I-1_nw^T)$

9

$A$ $B$

B^{2} = A,

$B^2 = A,$

$C$

C^{H} C = A,

$C^H C = A,$

$C \mapsto Q C$ $Q$

Cuối cùng, người ta có thể định nghĩa một cách xây dựng căn bậc hai ma trận duy nhất của ma trận bán xác định dương Hermiti thông qua phân rã giá trị riêng của nó, nói

A = U Λ U^{H},

$A = U \Lambda U^H,$

$U$ $\Lambda$ $A$

B = U \sqrt{Λ} U^{H} .

$B = U \sqrt{\Lambda} U^H.$

— Jack Poulson
nguồn

A

$A$

6

G = A^{T} A .

$G = A^T A.$

G

$G$

G

$G$

G = L^{T} L

$G=L^TL$

A = L

$A=L$

A

$A$

G

$G$ và nếu bạn muốn có một câu hỏi cụ thể, bạn cần phải viết lại câu hỏi theo cách bạn chỉ định các thuộc tính cấu trúc của "nhánh" của căn bậc hai mà bạn quan tâm.

Tôi có thể nói rằng tình huống này không giống với lấy căn bậc hai trong số các số thực bằng cách sử dụng các số phức: nói chung, bạn cũng có hai gốc, và bạn phải nói cái nào bạn muốn làm cho câu trả lời là duy nhất.

— Wolfgang Bangerth
nguồn

Bạn chắc chắn đúng. Một cách khác sẽ là cách tiếp cận phân rã quang phổ như tôi nêu ở trên. Tôi đã thực hiện một chỉnh sửa để làm cho giải pháp độc đáo. Hy vọng nó sẽ không làm phức tạp vấn đề.

— dùng

Là một giải pháp với các ràng buộc tôi đưa ra ở trên luôn luôn tồn tại? Có lẽ nó chỉ giữ cho một số trường hợp, và không nói chung.

— dùng

Trên thực tế, Cholesky không hoạt động trong trường hợp của anh ta, vì nó (về cơ bản) đòi hỏi ma trận là Hermiti dương-xác định.

— Jack Poulson

4

$LDL^{T}$ $\hat{D} = \sqrt{D}$ $G = L\hat{D}$

— Willowbrook
nguồn

L D L^{T}

$LDL^T$

1

@JackPoulson Tôi thử một ma trận số A trong matlab và chạy ldl, nó hoạt động. Các giá trị riêng không tương ứng với các số 0 trong đường chéo của D.

— Willowbrook

2

L D L^{T}

$LDL^T$

P A P^{'} = L D L^{T}

$PAP'=LDL^T$

D

$D$

2 \times 2

$2 \times 2$