Có một sự khái quát hóa của Luật quán tính Sylvester cho vấn đề eigenvalue tổng quát đối xứng?

Tôi biết rằng để giải quyết vấn đề eigenvalue đối xứng , chúng ta có thể sử dụng Định luật quán tính Sylvester, đó là số lượng giá trị riêng của nhỏ hơn bằng các số âm của trong đó ma trận chéo xuất phát từ Hệ số LDL của . Sau đó, bằng phương pháp chia đôi, chúng ta có thể tìm thấy tất cả hoặc một số giá trị riêng như mong muốn. Tôi muốn biết liệu có tồn tại sự khái quát hóa của Luật quán tính Sylvester đối với các vấn đề eigenvalue tổng quát đối xứng hay không, đó là giải , trong đó và là ma trận đối xứng. Cảm ơn.A a D D A - a I = L D L T A x = λ B x A $Ax = \lambda x$$A$$a$$D$$D$$A-aI = LDL^{T}$$Ax= \lambda Bx$$A$$B$

Có, nếu bút chì là xác định, nghĩa là, nếu và là Hermiti và là xác định dương. Sau đó, chữ ký của có sự giải thích tương tự cho các vấn đề eigenvalue như trong trường hợp . Một kết quả tổng quát hơn của loại này giữ cho bất kỳ vấn đề eigenvalue phi tuyến xác định . Xem Phần 5.3 của cuốn sách của tôiB B A - σ B ( A - λ B ) x = 0 B = I A ( λ ) x = $A$$B$$B$$A-\sigma B$$(A-\lambda B)x=0$$B=I$$A(\lambda)x=0$

Arnold Neumaier, Giới thiệu về phân tích số, Cambridge Univ. Báo chí, Cambridge 2001.

Với , bằng chứng khẳng định của tôi có thể được suy ra từ lập luận do Jack Poulson đưa ra khi lưu ý rằng và đồng dạng, do đó có cùng quán tính.C - σ tôi Một - σ $(A-\lambda B)x=0$$C-\sigma I$$A-\sigma B$

Đặc biệt, một trong những có thể trực tiếp tính toán quán tính của , và không cần một thừa số Cholesky của để tạo thành . Thật vậy, nếu bị điều hòa thì sự hình thành số của làm giảm chất lượng của phép thử quán tính.B C B $A-\sigma B$$B$$C$$B$$C$

Trong trường hợp là Hermiti và xác định dương, một nhân tố Cholesky của B , giả sử B = L L H , cho rằng$B$$B$$B = L L^H$

và phương trình này có thể được thao tác để chỉ ra rằng

trong đó cần phải rõ ràng rằng bảo tồn tính đối xứng của A , và cũng có phổ giống như bút chì ( A , B ) . Do đó, sau khi hình thành C , với hệ số Cholesky theo sau là một phép giải tam giác hai cạnh , bạn có thể trực tiếp áp dụng định luật quán tính Sylvester cho C để thu thập thông tin về giá trị riêng của bút chì ( A , B ) .$C \equiv L^{-1} A L^{-H}$$A$$(A,B)$$C$$C$$(A,B)$

Lưu ý rằng, kể từ khi Luật Inertia Sylvester là bất biến đối với với tương đẳng biến đổi, ví dụ như, , sau đó ma trận C là đồng dư với A qua việc chuyển đổi L - 1 ⋅ L - H , và do đó C có quán tính tương tự như Một . Tuy nhiên, nếu quán tính của C - σ tôi là mong muốn, đối với một số khác không thay đổi σ , sau đó chúng ta có thể không còn đơn giản là xem xét Một .$S \cdot S^H$$C$$A$$L^{-1} \cdot L^{-H}$$C$$A$$C-\sigma I$$\sigma$$A$