Là người giải quyết trực tiếp ảnh hưởng bởi số điều kiện của một ma trận?

Nếu tôi giải quyết một vấn đề tương đối nhỏ, đó là một vấn đề có thể được xử lý bằng phương pháp trực tiếp như LU, thì số điều kiện của toán tử tuyến tính có ảnh hưởng đến độ chính xác của giải pháp không?

Một trong những vấn đề nghiên cứu tôi đang tập trung vào phát triển các kỹ thuật tối ưu hóa để giải các hệ phương trình tuyến tính và "vấn đề" tôi gặp phải là số điều kiện của ma trận có thể rất cao.

Đây sẽ là một yếu tố quan trọng để xem xét nếu tôi sử dụng phương pháp lặp và điều kiện tiên quyết, nhưng hiện tại tôi đang giải quyết các vấn đề nhỏ (dưới 1M độ tự do), vì vậy bây giờ người giải quyết trực tiếp là phù hợp.

Có, số điều kiện luôn luôn quan trọng trong số học dấu phẩy động, cho dù bạn chọn giải hệ thống của mình bằng phương pháp lặp hay trực tiếp. Độ chính xác tương đối của một giải pháp gần đúng với thu được từ hệ số LU với xoay vòng là , trong đó là số dấu phẩy động nhỏ nhất sao cho trên của bạn máy móc. Nếu bạn đang sử dụng số float 64 bit, , vì vậy nếu ma trận của bạn có số điều kiện là thì bạn chỉ có thể đảm bảo rằng giải pháp của mình có 4 chữ số chính xác.$Ax = b$$O(\kappa(A) \cdot \varepsilon)$$\varepsilon$$1 + \varepsilon > 1$$\varepsilon \approx 10^{-16}$$10^{12}$

Đối với các bộ giải lặp, số điều kiện ma trận vào chương trình ngay cả trong số học có độ chính xác vô hạn vì nó thường quy định tốc độ hội tụ lý thuyết của thuật toán. Với người giải quyết trực tiếp, điều này chỉ trở thành một sự cân nhắc một khi bạn tính đến thực tế là máy tính của bạn hoạt động với độ chính xác hữu hạn.