Làm thế nào để lấy mẫu điểm trong không gian hyperbol?

Không gian Hyperbolic trong mô hình không gian nửa trên Poincaré trông giống như $\Bbb R^n$ thông thường nhưng với khái niệm góc và khoảng cách bị bóp méo một cách tương đối đơn giản. Trong không gian Euclide tôi có thể lấy mẫu một điểm ngẫu nhiên thống nhất trong một quả bóng bằng nhiều cách, ví dụ như bằng cách tạo ra $n$ mẫu Gaussian độc lập để có được một hướng đi, và riêng biệt lấy mẫu một Radial phối hợp $r$ bằng cách lấy mẫu thống nhất $s$ từ $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$, trong đó$R$là bán kính và đặt$r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . Trong nửa mặt phẳng hyperbol trên, một hình cầu vẫn là một hình cầu, chỉ có trung tâm của nó sẽ không phải là trung tâm trong số liệu Euclide, vì vậy chúng ta có thể làm tương tự.

Nếu chúng ta muốn lấy mẫu theo phân phối không đồng nhất, nhưng vẫn theo cách đẳng hướng, ví dụ phân phối Gaussian, điều này có vẻ không dễ dàng. Trong không gian Euclide, chúng ta chỉ có thể tạo một mẫu Gaussian cho mỗi tọa độ (điều này chỉ hoạt động đối với phân phối Gaussian) hoặc tạo ra một mẫu Gaussian đa chiều. Có cách nào trực tiếp để chuyển đổi mẫu này thành mẫu trong không gian hyperbol không?

Một cách tiếp cận khác có thể là trước tiên tạo ra một hướng phân bố đều (ví dụ từ $n$ mẫu Gaussian) sau đó là mẫu Gaussian cho thành phần xuyên tâm và cuối cùng tạo ra hình ảnh dưới bản đồ hàm mũ theo hướng xác định cho độ dài đã chỉ định. Một biến thể sẽ chỉ là lấy mẫu Gaussian của Euclide và ánh xạ nó dưới bản đồ hàm mũ.

Những câu hỏi của tôi:

• điều gì sẽ là một cách tốt và hiệu quả để có được một mẫu Gaussian với độ lệch trung bình và độ lệch chuẩn trong không gian hyperbol?
• những cách tôi mô tả ở trên có cung cấp việc lấy mẫu mong muốn không?
• có ai đã làm ra công thức chưa?
• làm thế nào để khái quát hóa cho các số liệu khác và phân phối xác suất khác?

Cảm ơn trước.

BIÊN TẬP

Tôi chỉ nhận ra rằng ngay cả trong trường hợp lấy mẫu thống nhất, những câu hỏi này vẫn còn; mặc dù một hình cầu là một hình cầu, một phân bố đồng đều sẽ không được mô tả bởi một hàm không đổi trên một quả bóng.

Tôi đang ở giữa để làm điều này cho bản thân mình. Tôi nghĩ rằng sự tương tự thích hợp nhất với Gaussian sẽ là hạt nhân nhiệt trong không gian hyperbol. May mắn thay, điều này đã được tìm ra trước đây: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (cũng có sẵn trong Bản tin của Hiệp hội toán học Luân Đôn ).

$e^{-dist^2/constant}$

Đây là một mẫu thống nhất cho bóng bán kính 3 có tâm ở gốc:

Nếu muốn, tôi rất vui được nói thêm. Tôi chỉ nghĩ rằng tôi đã đưa nó lên, vì rõ ràng có một số quan tâm về điều này, ít nhất là trong quá khứ.

Hằng số pi chỉ là một hằng số trong không gian Euclide. Giá trị của pi là khác nhau trong hình học khác. Tham số pi thay đổi khối lượng xác suất theo Gaussian. Các tham số pi được sử dụng để bình thường hóa xác suất. Tôi mới bắt đầu nghiên cứu cái này.

Tôi đã kết luận một thời gian trước rằng không gian thay đổi từ hyperbolic sang Euclide thành hình cầu khi số lượng sigmas tăng lên. Tôi rất vui khi chạy qua một cuộc thảo luận về các vòng tròn trong mỗi không gian và pi là một hàm của không gian Lp thông qua tham số p.

$n$