Làm thế nào để lấy mẫu điểm trong không gian hyperbol?


10

Không gian Hyperbolic trong mô hình không gian nửa trên Poincaré trông giống như Rn thông thường nhưng với khái niệm góc và khoảng cách bị bóp méo một cách tương đối đơn giản. Trong không gian Euclide tôi có thể lấy mẫu một điểm ngẫu nhiên thống nhất trong một quả bóng bằng nhiều cách, ví dụ như bằng cách tạo ra n mẫu Gaussian độc lập để có được một hướng đi, và riêng biệt lấy mẫu một Radial phối hợp r bằng cách lấy mẫu thống nhất s từ [0,1n+1Rn+1], trong đóRlà bán kính và đặtr=((n+1)s)1n+1 . Trong nửa mặt phẳng hyperbol trên, một hình cầu vẫn là một hình cầu, chỉ có trung tâm của nó sẽ không phải là trung tâm trong số liệu Euclide, vì vậy chúng ta có thể làm tương tự.

Nếu chúng ta muốn lấy mẫu theo phân phối không đồng nhất, nhưng vẫn theo cách đẳng hướng, ví dụ phân phối Gaussian, điều này có vẻ không dễ dàng. Trong không gian Euclide, chúng ta chỉ có thể tạo một mẫu Gaussian cho mỗi tọa độ (điều này chỉ hoạt động đối với phân phối Gaussian) hoặc tạo ra một mẫu Gaussian đa chiều. Có cách nào trực tiếp để chuyển đổi mẫu này thành mẫu trong không gian hyperbol không?

Một cách tiếp cận khác có thể là trước tiên tạo ra một hướng phân bố đều (ví dụ từ n mẫu Gaussian) sau đó là mẫu Gaussian cho thành phần xuyên tâm và cuối cùng tạo ra hình ảnh dưới bản đồ hàm mũ theo hướng xác định cho độ dài đã chỉ định. Một biến thể sẽ chỉ là lấy mẫu Gaussian của Euclide và ánh xạ nó dưới bản đồ hàm mũ.

Những câu hỏi của tôi:

  • điều gì sẽ là một cách tốt và hiệu quả để có được một mẫu Gaussian với độ lệch trung bình và độ lệch chuẩn trong không gian hyperbol?
  • những cách tôi mô tả ở trên có cung cấp việc lấy mẫu mong muốn không?
  • có ai đã làm ra công thức chưa?
  • làm thế nào để khái quát hóa cho các số liệu khác và phân phối xác suất khác?

Cảm ơn trước.

BIÊN TẬP

Tôi chỉ nhận ra rằng ngay cả trong trường hợp lấy mẫu thống nhất, những câu hỏi này vẫn còn; mặc dù một hình cầu là một hình cầu, một phân bố đồng đều sẽ không được mô tả bởi một hàm không đổi trên một quả bóng.


@yes cảm ơn bình luận của bạn. Trên mỗi không gian tôpô, bạn có đại số sigma Borel, được tạo bởi cấu trúc liên kết. Một số liệu Riemannian cung cấp cho bạn một khái niệm về một khối lượng. Nếu tổng khối lượng là hữu hạn, điều này có thể được chuẩn hóa để phân phối xác suất, hay nói chung là nó cung cấp cho bạn một cách trực tiếp phân phối xác suất thống nhất trên các tập khối lượng hữu hạn có thể đo được. Vì bạn có cấu trúc hình học, bao gồm khái niệm trắc địa và độ dài cung, bạn cũng có thể xác định phân phối Gaussian bằng mật độ xác suất phân rã theo khoảng cách theo cách tương tự như trong không gian euclide
doetoe

@yes Có thể dễ dàng hơn để lấy mẫu xung quanh tâm của quả bóng trong mô hình quả bóng và sau đó vận chuyển nó qua một hình học, ít nhất là xoay Euclide và hyperbolic quanh tâm trùng khớp. Nếu đây thực sự là hiệu quả nhất, câu hỏi sẽ giảm xuống làm thế nào để lấy mẫu xung quanh trung tâm trong mô hình đĩa theo phân phối bình thường cho số liệu hyperbol.
doetoe

1
Bạn sẽ có thể điều chỉnh MCMC đa dạng của Mark Girolami để tạo mẫu ở đây. Nhưng nó có thể là quá mức cần thiết. Bạn làm MCMC, nhưng bạn tạo đề xuất bằng cách bắn trắc địa từ điểm hiện tại.
Nick Alger

@NickAlger nghe có vẻ thú vị, bạn có liên kết không?
doetoe

Đây là bài viết chính của anh ấy về nó. Chúng biến vấn đề lấy mẫu phân phối không đồng nhất trên không gian phẳng thành vấn đề lấy mẫu phân phối đồng đều trên đa tạp, trong khi bạn bắt đầu với phân phối đồng đều trên đa tạp. rss.onlinel Library.wiley.com/doi/full/10.1111/ từ
Nick Alger

Câu trả lời:


4

Tôi đang ở giữa để làm điều này cho bản thân mình. Tôi nghĩ rằng sự tương tự thích hợp nhất với Gaussian sẽ là hạt nhân nhiệt trong không gian hyperbol. May mắn thay, điều này đã được tìm ra trước đây: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (cũng có sẵn trong Bản tin của Hiệp hội toán học Luân Đôn ).

edist2/constant

(21||x||2)ndx1dxn

Đây là một mẫu thống nhất cho bóng bán kính 3 có tâm ở gốc: nhập mô tả hình ảnh ở đây

Nếu muốn, tôi rất vui được nói thêm. Tôi chỉ nghĩ rằng tôi đã đưa nó lên, vì rõ ràng có một số quan tâm về điều này, ít nhất là trong quá khứ.


Cảm tạ! Tôi chưa có thời gian để nghiên cứu bài viết thích, nhưng nó có vẻ thú vị và phù hợp
doetoe

σ/2

0

Hằng số pi chỉ là một hằng số trong không gian Euclide. Giá trị của pi là khác nhau trong hình học khác. Tham số pi thay đổi khối lượng xác suất theo Gaussian. Các tham số pi được sử dụng để bình thường hóa xác suất. Tôi mới bắt đầu nghiên cứu cái này.

Tôi đã kết luận một thời gian trước rằng không gian thay đổi từ hyperbolic sang Euclide thành hình cầu khi số lượng sigmas tăng lên. Tôi rất vui khi chạy qua một cuộc thảo luận về các vòng tròn trong mỗi không gian và pi là một hàm của không gian Lp thông qua tham số p.


Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.