Phương pháp lặp nào có thể giải quyết hiệu quả một hệ thống tuyến tính với loại phổ này

Tôi có một hệ thống tuyến tính với ma trận mà các giá trị riêng được phân bố đồng đều trên vòng tròn đơn vị như thế này:

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Có thể giải quyết loại hệ thống này một cách hiệu quả bằng phương pháp lặp, có thể với một số điều kiện tiên quyết?

linear-algebra iterative-method preconditioning

— faleichik
nguồn

Tôi nghĩ MINRES sẽ làm điều này, mặc dù tôi chỉ biết một kết quả tương tự cho một phổ thực sự. Bạn có biết thêm về ma trận (đặc biệt, nó có bình thường không)?

— Christian Clason

Ngoài ra, hãy xem page.math.tu-berlin.de/~liesen/Publicat/LiTiGAMM.pdf

— Christian Clason

A^{*} A x = A^{*} b

$A^*Ax = A^*b$

@ChristianClason trong trường hợp chung ma trận không bình thường. Nó có cấu trúc khối nhất định và thưa thớt. Cảm ơn bạn đã tham khảo!

— faleichik

Nếu ma trận rất không bình thường thì đề xuất của tôi về CGNE là sai, nhưng bài báo đó phải là một khởi đầu tốt. Thư viện PETSc có khá nhiều bộ giải không gian con Krylov dưới ánh mặt trời, vì vậy bạn có thể thử tất cả chúng và xem cái nào hoạt động tốt nhất. Ngoài ra còn có giao diện Python cho nó, giúp mọi thứ thuận tiện hơn nhiều.

— Daniel Shapero

Ma trận được điều hòa rất tốt, do đó GMRES (k) sẽ hoạt động tốt mà không cần điều kiện tiên quyết.

— Arnold Neumaier
nguồn

Mặc dù ma trận được điều hòa tốt, nhưng điều này không nhất thiết ngụ ý rằng GMRES hội tụ tốt. Ví dụ Octave (Matlab): `n = 100; A = eye (n); p = [n, 1: n-1]; A = A (:, p); condition_number = cond (A), b = eye ( n, 1) + rand (n, 1) * 1e-6; [x, flag, relres, iter, resvec] = gmres (A, b); đóng tất cả; semilogy (resvec); hình; cốt truyện (eig (A) ), "."); `

— wim

A

$A$