Làm thế nào để hội tụ yếu cảm thấy, số lượng?

Hãy xem xét, bạn có một vấn đề trong không gian Hilbert hoặc Banach vô hạn (nghĩ về PDE hoặc vấn đề tối ưu hóa trong không gian như vậy) và bạn có một thuật toán hội tụ yếu vào một giải pháp. Nếu bạn phân biệt vấn đề và áp dụng thuật toán rời rạc tương ứng cho vấn đề, thì sự hội tụ yếu là sự hội tụ trong mọi tọa độ và do đó cũng mạnh. Câu hỏi của tôi là:

Liệu loại hội tụ mạnh này có cảm giác hoặc trông có gì khác với sự hội tụ thu được từ sự hội tụ mạnh mẽ đơn giản cũ của thuật toán vô hạn ban đầu không?

Hoặc, cụ thể hơn:

Những loại hành vi xấu có thể xảy ra với một "phương pháp hội tụ yếu kém rời rạc"?

Bản thân tôi thường không hoàn toàn hạnh phúc khi tôi chỉ có thể chứng minh sự hội tụ yếu nhưng cho đến bây giờ tôi không thể quan sát được một số vấn đề với kết quả của các phương pháp ngay cả khi tôi mở rộng vấn đề rời rạc vấn đề sang các chiều cao hơn.

Lưu ý rằng tôi không quan tâm đến vấn đề "đầu tiên rời rạc hơn tối ưu hóa" so với "tối ưu hóa đầu tiên hơn so với rời rạc" và tôi nhận thức được các vấn đề có thể xảy ra nếu bạn áp dụng thuật toán cho một vấn đề rời rạc không chia sẻ tất cả các thuộc tính với vấn đề thuật toán được thiết kế cho.

Cập nhật: Như một ví dụ cụ thể, hãy xem xét một vấn đề tối ưu hóa với một biến trong và giải quyết nó bằng một cách nào đó như tách (lùi theo quán tính) hoặc một số phương pháp khác chỉ biết sự hội tụ yếu trong . Đối với vấn đề rời rạc, bạn có thể sử dụng cùng một phương pháp và với sự rời rạc chính xác, bạn sẽ có được thuật toán tương tự nếu bạn rời rạc thuật toán trực tiếp. Điều gì có thể đi sai khi bạn tăng độ chính xác rời rạc?L $L^2$$L^2$

Đúng là sự hội tụ yếu là rất quan trọng trong giới hạn liên tục là (ví dụ, do không thể quan sát bất kỳ tốc độ hội tụ nào ). Ít nhất là trong các không gian Hilbert, nó cũng được liên kết chặt chẽ với tính không duy nhất của giới hạn và do đó chỉ hội tụ về sau (ví dụ, nơi bạn có thể xen kẽ giữa việc tiếp cận các điểm giới hạn khác nhau, phá hủy tỷ lệ một lần nữa) và rất khó để phân tách ảnh hưởng của Hai người hội tụ.$h\to 0$

Cụ thể đối với sự hội tụ yếu trong , bạn cũng có một thực tế là sự hội tụ không cần phải theo chiều hướng, và điều này bạn thực sự có thể quan sát thấy trong sự rời rạc (đủ tốt). Dưới đây là một ví dụ từ một chuỗi các minimizers { u ε } ε > 0 mà hội tụ như ε → 0 đến u ( x ) = { - 1 x < $L^2$$\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$$\varepsilon\to 0$ trong đó độ hội tụ yếu nhưng không theo điểm trên[

Hiện tượng này được gọi là "nhai" trong việc tính gần đúng các bài toán điều khiển bang-bang cho phương trình vi phân (nghĩa là các bài toán với các ràng buộc hộp trong đó giải pháp hầu như ở mọi nơi đều đạt được giới hạn dưới hoặc trên).

(Ví dụ cụ thể này được lấy từ bài báo của chúng tôi về kiểm soát nhiều tiếng nổ của các hệ thống elip , Ann. Henri Poincaré (C) 2014, 1109-1130, Ghi chú 4.2.)

Câu hỏi bạn đặt ra thường không có nhiều mối quan tâm thực tế vì sự hội tụ yếu trong một quy tắc có thể ngụ ý sự hội tụ mạnh mẽ trong một quy tắc khác, cho cùng một chuỗi các giải pháp.

$u$$H^2$$u_h$$H^1$$u_h \rightarrow u$$L_2$$H^1$$h\rightarrow 0$$\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$$\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$

$u_h \rightarrow u$$H^2$$u_h$$H^1$$u_h \rightharpoonup u$$H^2$

Vấn đề là câu hỏi về sự hội tụ yếu và mạnh thường là câu hỏi về định mức bạn nhìn vào và không phải là một thuộc tính của chuỗi các giải pháp bạn nhận được từ phương pháp của mình.