Ý tưởng chung về phương pháp của Nitsche trong phân tích số là gì?

Tôi biết rằng phương pháp của Nitsche là một phương pháp rất hấp dẫn vì nó cho phép tính đến các điều kiện biên loại Dirichlet hoặc tiếp xúc với các điều kiện biên ma sát một cách yếu mà không cần sử dụng hệ số nhân Lagrange. Và lợi thế của nó, đó là chuyển đổi một điều kiện biên Dirichlet thành các thuật ngữ yếu tương tự như điều kiện biên Neumann, được trả bởi thực tế là việc triển khai phụ thuộc vào mô hình.

Tuy nhiên, nó dường như quá chung chung đối với tôi. Bạn có thể cho tôi ý tưởng cụ thể hơn về phương pháp này? Một ví dụ đơn giản sẽ được đánh giá cao.

Phương pháp của Nitsche liên quan đến các phương pháp Galerkin không liên tục (thực sự, như Wolfgang chỉ ra, nó là tiền thân của các phương pháp này) và có thể được bắt nguồn theo cách tương tự. Hãy xem xét các vấn đề đơn giản nhất, phương trình Poisson:

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$ Bây giờ chúng tôi đang tìm kiếm một công thức đa dạng

1. được thỏa mãn bởi giải pháp (yếu) $u\in H^1(\Omega)$ (nghĩa là nhất quán),
2. là đối xứng trong $u$ và $v$ ,
3. thừa nhận một giải pháp độc đáo (có nghĩa là hình thức song tuyến là cưỡng chế).

Chúng ta bắt đầu như bình thường bằng cách lấy dạng mạnh của phương trình vi phân, nhân với hàm kiểm tra và tích hợp bởi các phần. Bắt đầu với phía bên tay phải, chúng tôi có được ( f , v ) = ( - Δ u , v $v\in H^1(\Omega)$ trong phương trình cuối cùng, chúng ta đã thêm0 0=u-gtrên đường biên. Sắp xếp lại các thuật ngữ để phân tách các dạng tuyến tính và song tuyến tính bây giờ đưa ra một phương trình biến đổi cho dạng song tuyến đối xứng được thỏa mãn cho giải phápu∈H1(Ω)của(1).

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

$u=v$ v ∈ H 1 ( Ω ) L 2 η ∫ ∂ Ω ( u - g ) $c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$$L^2$η > 0 u ∈ H 1 ( Ω ) ( ∇ u , ∇ v ) - ∫ ∂ Ω ∂ v u $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

Thay vì xấp xỉ rời rạc mang lại xấp xỉ Galerkin thông thường. Lưu ý rằng vì nó không tuân thủ do các điều kiện biên (chúng tôi đang tìm giải pháp riêng biệt trong một không gian rộng hơn so với giải pháp chúng tôi đã tìm giải pháp liên tục), nên người ta không thể suy ra vấn đề riêng biệt của vấn đề rời rạc từ đó Vấn đề liên tục. Bây giờ Nitsche đã chỉ ra rằng nếu được chọn là cho đủ lớn, thì vấn đề riêng biệt trên thực tế là ổn định (đối với một tiêu chuẩn phụ thuộc lưới phù hợp).u h , v h ∈ V h ⊂ H 1 ( Ω ) η c h - 1 c > $u,v\in H^1(\Omega)$$u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$$\eta$$ch^{-1}$$c>0$

(Đây không phải là dẫn xuất ban đầu của Nitsche, trước các phương pháp Galerkin không liên tục và bắt đầu từ một vấn đề tối thiểu hóa tương đương. Trên thực tế, bài báo gốc của ông không đề cập đến hình thức song tuyến tương ứng, nhưng bạn có thể tìm thấy nó, ví dụ, Freund và Stenberg, Về các điều kiện biên bị áp đặt yếu cho các vấn đề cấp hai , Kỷ yếu của các yếu tố hữu hạn thứ chín trong chất lỏng, Venice 1995. M. Morandi Cecchi và cộng sự, Eds. Trang 327-336 .)