Chọn hầu hết các điểm phân tán từ một tập hợp các điểm

Có thuật toán (hiệu quả) nào để chọn tập hợp con của các điểm từ một tập hợp các điểm ( ) sao cho chúng "bao phủ" hầu hết diện tích (trên tất cả các tập hợp con có thể có kích thước ) không?$M$$N$$M < N$$M$

Tôi giả sử các điểm là trong mặt phẳng 2D.

Thuật toán ngây thơ là đơn giản, nhưng nghiêm cấm về độ phức tạp thời gian:

for each subset of N points
    sum distance between each pair of points in the subset
    remember subset with the maximum sum

Tôi đang tìm kiếm một phương pháp hiệu quả hơn hoặc thậm chí gần đúng.

Ví dụ, đây là một mặt phẳng có một số điểm ngẫu nhiên trong đó:

Với , tôi mong đợi chọn các điểm như sau:$M=5$

Lưu ý các điểm được chọn (màu đỏ) nằm rải rác trên mặt phẳng.

Tôi đã tìm thấy một bài viết " HIỆU QUẢ LỰA CHỌN PHÂN PHỐI KHAI THÁC PHÂN PHỐI ĐỂ THEO D VISI THỰC TẾ " có liên quan đến vấn đề này. Tuy nhiên, điều này giả định các điểm có trọng số.

Đây là một giải pháp gần đúng. Vì N quá lớn và M quá nhỏ, nên như sau:

1. Tính vỏ lồi của N
2. Chọn tối đa điểm M từ thân tàu thỏa mãn tiêu chí khoảng cách tối đa của bạn.
3. Nếu Bước 2 khiến bạn có ít hơn điểm M thì hãy chọn 1 điểm từ bên trong để tối đa hóa khoảng cách của nó với các điểm đã chọn trước đó.
4. Lặp lại Bước 3 cho đến khi số điểm được chọn là M

Trực giác đằng sau nó là vì N >> M và bạn muốn các điểm càng xa nhau càng tốt, chúng có thể sẽ ở gần các cạnh của dữ liệu, vì vậy bạn cũng có thể bắt đầu với thân tàu và sau đó lặp đi lặp lại làm việc theo cách của bạn từ đó.

Ngoài ra, bằng cách bắt đầu với thân tàu, bạn giảm tìm kiếm ban đầu của mình từ N xuống N ^1/2 .

CẬP NHẬT

Nếu các bước 3 và 4 ở trên mất quá nhiều thời gian (vì bạn đang kiểm tra lặp lại phần bên trong của tập dữ liệu của bạn) thì sẽ có thêm hai ý tưởng xảy ra với tôi để tăng tốc vấn đề của bạn.

1. Tìm kiếm ngẫu nhiên : Giả sử bạn đã tìm thấy điểm P trên thân tàu trong Bước 2. Sau đó rút ngẫu nhiên các điểm M - P từ bên trong. Chọn bộ tốt nhất sau X thử nghiệm.
2. Mô phỏng luyện kim : Tính toán hộp giới hạn nhỏ nhất bao gồm tập dữ liệu của bạn (không phải căn chỉnh với các trục, có thể nghiêng). Sau đó xác định một tập hợp các điểm lưới phân bố đồng đều M trên hộp giới hạn đó. Lưu ý, những điểm này không nhất thiết trùng với bất kỳ điểm dữ liệu nào của bạn. Sau đó, cho mỗi điểm lưới tìm hàng xóm k -gần nhất trong tập dữ liệu của bạn. Chạy qua mọi kết hợp M x k và chọn một kết hợp thỏa mãn tiêu chí khoảng cách tối đa của bạn. Nói cách khác, bạn đang sử dụng lưới ban đầu làm bootstrap để tìm giải pháp ban đầu tốt .

$N$$M$

$M$$M$

$M$$1$$M=3,4,5$

$M=3$$1$$M=4$$M=5$$1$

Nếu chúng ta muốn tránh việc chiếm ưu thế trong việc lựa chọn các điểm ở ngoại vi, một mục tiêu khác có thể chứng minh sự hữu ích. Tối đa hóa khoảng cách tối thiểu giữa các điểm là một tiêu chí như vậy. Các vấn đề liên quan đã được giới thiệu tại StackOverflow , tại Computer Science SE , tại Math.SE và tại MathOverflow .

$M$$D$$M$$D$

OK, vì vậy bạn muốn chọn điểm M từ một tập hợp điểm N đã cho trong mặt phẳng Euclide, sao cho tổng khoảng cách theo cặp của các điểm được chọn là tối đa, đúng không?

Thuật toán tìm kiếm cục bộ tiêu chuẩn là khá nhanh và cung cấp một xấp xỉ khá tốt. Thời gian chạy là tuyến tính theo N và bậc hai tính theo M. Tỷ lệ gần đúng của nó là 1 - 4 / M. Điều này có nghĩa là tỷ lệ sẽ tốt hơn khi M tăng. Chẳng hạn, với M = 10, nó nhận được 60% giá trị tối ưu và với M = 50, nó nhận được 92% giá trị tối ưu.

Thuật toán cũng hoạt động cho các không gian Euclide có kích thước chung. Trong trường hợp này, vấn đề là NP-hard. Nhưng trên máy bay, không biết nó có phải là NP-hard hay không.

Nguồn là giấy này . Hi vọng điêu nay co ich! Tốt nhất, Alfonso

Một giải pháp là:

• $O(n)$

• Tạo M nhân tạo ngay cả các điểm phân phối bên trong hình chữ nhật giới hạn này, một số M khó khăn hơn các điểm khác. Trong trường hợp của bạn bốn trong các góc của hình chữ nhật và một ở trung tâm

• $O(n(log(n)))$

• $O(m(log(n)))$

$O(n(log(n)))$$\sqrt{M} \in \mathbb{N}$