Xác minh trong các vấn đề Eigenvalue

Chúng ta hãy bắt đầu với một vấn đề của hình thức

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

với một tập hợp các điều kiện biên đã cho ( Dirichlet , Neumann , Robin , Định kỳ , Bloch-Định kỳ ). Điều này tương ứng với việc tìm giá trị riêng và hàm riêng cho một số toán tử , dưới một số hình học và điều kiện biên. Người ta có thể có được một vấn đề như thế này trong âm học, điện từ, động lực học, cơ học lượng tử, ví dụ. $\mathcal{L}$

Tôi biết rằng người ta có thể phân biệt toán tử bằng các phương thức khác nhau, ví dụ: Phương pháp khác biệt hữu hạn để thu được

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

hoặc sử dụng, Phương pháp phần tử hữu hạn để thu được

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

Trong một trường hợp nhận được một vấn đề eigenvalue và một vấn đề eigenvalue tổng quát trong trường hợp khác. Sau khi có được phiên bản rời rạc của vấn đề, người ta sử dụng một bộ giải cho bài toán eigenvalue.

Một vài suy nghĩ

Phương pháp của Giải pháp sản xuất không hữu ích trong trường hợp này vì không có thuật ngữ nguồn để cân bằng phương trình.
Người ta có thể xác minh rằng các ma trận và được nắm bắt tốt bằng cách sử dụng một vấn đề miền tần số với thuật ngữ nguồn, ví dụ: $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
thay vì

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Nhưng điều này sẽ không kiểm tra các vấn đề giải quyết.
Có lẽ, người ta có thể so sánh các giải pháp cho các phương pháp khác nhau, như FEM và FDM.

Câu hỏi

Cách để xác minh các giải pháp (cặp eigenvalue-eigenvector) cho các sơ đồ rời rạc do các phương pháp số như FEM và FDM cho các vấn đề eigenvalue là gì?

— nicoguaro
nguồn

Bạn có thể so sánh kết quả của bạn với quang phổ cho các trường hợp đã biết (hình vuông, hình khối, hình tròn, hình cầu) không? Ngoài ra còn có tỷ lệ hội tụ dự kiến cho người bản địa và giá trị bản địa theo các chỉ tiêu phù hợp mà bạn có thể kiểm tra (mặc dù các tỷ lệ này có xu hướng thay đổi tùy theo tần suất - xem tạp

— Jesse Chan

Có, bạn có thể so sánh với các giải pháp phân tích. Nhưng thông thường họ được cung cấp cho các trường hợp thực sự đơn giản. Câu hỏi là về cách thực hiện quy trình xác minh. Nếu có một cái gì đó tương tự như phương pháp oh sản xuất giải pháp. Hoặc nếu bạn nên kết hợp phương pháp này cho các vấn đề khác với các giải pháp phân tích.

— nicoguaro

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$ phải độc lập tuyến tính và không thể biến mất tại cùng một điểm.

— Kirill

@JlieChan, cảm ơn bạn đã đọc gợi ý. Phải mất một thời gian nhưng tôi đọc nó. Tôi không nghĩ rằng họ cung cấp đủ thông tin cho mục đích mong muốn.

— nicoguaro

Tôi muốn chắc chắn rằng tôi đã hiểu bạn chính xác. Bạn có muốn biết làm thế nào để ước tính khoảng cách giữa các eigenpairs tính toán cho toán tử rời rạc (ma trận hoặc ma trận) và eigen Pair tương ứng cho toán tử trơn? Hay bây giờ bạn muốn làm thế nào để ước tính độ chính xác mà bạn đã giải quyết một vấn đề eigenvalue riêng biệt?

— Carl Christian

Câu trả lời:

Tôi nhận ra câu hỏi này đã cũ, nhưng tôi chỉ nhìn thấy nó và thấy nó thú vị. Trước đây, tôi đã làm theo những gợi ý được tìm thấy trong các bình luận của câu hỏi này, cùng với một số trường hợp phức tạp hơn một chút mà tôi quen thuộc trong tài liệu (Orr - Sommerfeld luôn tiện dụng).

Tuy nhiên, tôi cũng biết một số tài liệu về các vấn đề eigenvalue không đồng nhất phát sinh khi xây dựng một giải pháp sản xuất. Có một số thảo luận về các vấn đề như vậy ở đây: DOI: 10.1016 . Các tác giả này cũng đề xuất một phương pháp được gọi là Phương pháp sản xuất chéo (MXS, tôi đoán vậy) để tránh vấn đề này hoàn toàn, mà tôi sẽ không giả vờ hiểu vào lúc này, nhưng rất hữu ích.

— Spencer Bryngelson
nguồn

Những gì họ đề xuất là "vấn đề eigenvalue không đồng nhất" là cách tiếp cận tôi đề xuất trong bài viết gốc của mình. Mặc dù vậy, tôi vẫn đang cố gắng để hiểu Phương pháp sản xuất chéo.

— nicoguaro

Tôi nhận ra rằng, chỉ đề xuất rằng một số tài liệu tồn tại cho các vấn đề như vậy nên nó có thể không phải là mục đích như bạn đề xuất: "Giải pháp sản xuất không hữu ích trong trường hợp này vì không có thuật ngữ nguồn để cân bằng phương trình."

— Spencer Bryngelson

Nó không phải là một lời chỉ trích bài viết của bạn. Hoàn toàn ngược lại! Tôi chỉ bình luận những gì tôi tìm thấy sau khi đọc tài liệu tham khảo để thúc đẩy các cuộc thảo luận.

— nicoguaro

Đối với đạo hàm bậc hai (và Laplacian trên các miền đơn giản), các biểu thức cho các hàm riêng rời rạc (tức là sau khi rời rạc) có sẵn. Ví dụ, đối với sự khác biệt hữu hạn, các eigenpairs được liệt kê ở đây .

Biểu thức cho các eigenpairs với sự phân biệt phần tử hữu hạn có thể được tìm thấy tương tự (đối với sự rời rạc của P1 và P2).

— người dùng7440
nguồn