Lặp lại Newton áp dụng cho PDE phi tuyến

Tôi gặp khó khăn trong việc hiểu cách áp dụng Lặp lại Newton cho các PDE phi tuyến và sau đó sử dụng sơ đồ hoàn toàn ẩn cho bước thời gian. Ví dụ, tôi muốn giải phương trình Burgers

u_{t} + u u_{x} - u_{x x} = 0

$u_{t} + u u_{x} - u_{xx} = 0$

Vì vậy, thời gian sử dụng một Euler lạc hậu

u_{t} = \frac{u^{n + 1} - u^{n}}{h}

$u_{t} = \frac{u^{n+1} - u^{n}}{h}$

chúng tôi thấy rằng

\begin{aligned} \frac{u^{n + 1} - u^{n}}{h} + u^{n + 1} (u^{n + 1})_{x} - (u^{n + 1})_{x x} = 0 \\ u^{n + 1} - h (u^{n + 1})_{x x} + h u^{n + 1} (u^{n + 1})_{x} = u^{n} \\ (I - h D^{2}) u^{n + 1} + h u^{n + 1} D u^{n + 1} = u^{n} \\ (I - h D^{2}) u^{n + 1} + N (u^{n + 1}) = u^{n} (1) \end{aligned}

$\begin{align} &\frac{u^{n+1} - u^{n}}{h} + u^{n+1} (u^{n+1})_{x} - (u^{n+1})_{xx} = 0 \\ &u^{n+1} - h (u^{n+1})_{xx} + h u^{n+1} (u^{n+1})_{x} = u^{n} \\ &(I - h D^{2}) u^{n+1} + h u^{n+1} D u^{n+1} = u^{n} \\ &(I - h D^{2}) u^{n+1} + N(u^{n+1}) = u^{n} \ \ \ (1) \end{align}$

Trong đó đại diện cho thuật ngữ phi tuyến của chúng tôi (lưu ý rằng thuật ngữ phi tuyến được viết ngầm). Bây giờ, chúng tôi muốn áp dụng Lặp lại Newton cho ODE phi tuyến này, nhưng đây là nơi tôi gặp khó khăn: $N$

Có phải chúng ta chỉ áp dụng Lặp đi lặp lại Newton cho LHS của , bỏ qua thuật ngữ , nghĩa là giải ? Hay chúng ta nên bao gồm thuật ngữ ? (Chỉ là một lời nhắc nhở, tôi muốn bước thời gian bằng cách sử dụng sơ đồ hoàn toàn ẩn sau khi sử dụng phép lặp Newton, vì vậy tôi tin rằng chúng ta chỉ muốn giải LHS = 0). $(1)$ $u^{n}$ $(I - h D^{2}) u^{n+1} + N(u^{n+1}) = 0$ $u^{n}$
Sau đó chúng ta phải làm gì với thông tin từ dự đoán ban đầu và kết quả của phép lặp Newton? Làm thế nào để chúng ta sử dụng thông tin này trong bước thời gian của chúng tôi?

Vì tôi chắc chắn rất rõ ràng, tôi khá bối rối không biết làm thế nào để tiếp cận vấn đề này. Nếu ai đó có thể đưa ra một mô tả chi tiết về cách áp dụng Lặp lại Newton và bước thời gian cho các PDE phi tuyến (mặc dù không phải PDE hình elip), hoặc có thể giúp tôi giải quyết vấn đề trong tay, tôi sẽ rất biết ơn. Cảm ơn trước.

— thảm
nguồn

Sẽ dễ dàng hơn một chút để xem bạn có viết phương trình của mình trong hệ thống bán rời có dạng và với ứng dụng -method và xấp xỉ này cho phép, $u^{\prime}(t) = F(u(t))$ $\theta$ $u^{\prime}(t) \approx (w^{n+1} - w^{n})/\tau$

w^{n + 1} - w^{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}) = 0

$w^{n+1} - w^{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) = 0$

$w^{n+1}$ $\tau$ $u^{\prime}(t)$ $F(u(t))$ $u(t)$ $t$ $\theta$

Phương trình này có thể được giải bằng cách sử dụng phép lặp Newton,

ν^{k + 1} = ν^{k} - (I - θ τ A^{n})^{- 1} (ν^{k} - w^{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - w^{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

$k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$ $\nu^0 = w^0$ $\nu^0 = w^0 + \tau F(w^{0})$

— tẩy chay
nguồn

Cám ơn phản hồi của bạn. Đáng lẽ tôi nên nói cụ thể hơn, tôi thực sự đã ở thời điểm sử dụng Newton Iteration và đã giải quyết vấn đề như vậy, và có rất nhiều giải pháp. Nhưng vấn đề chính của tôi là làm thế nào để bước thời gian sau đó? Tôi nghĩ rằng chúng tôi muốn "hủy" thuật ngữ phi tuyến và sau đó thời gian bước một ODE tuyến tính sau đó? Hay tôi đã hoàn toàn bỏ lỡ quan điểm của Newton Iteration? Ngoài ra, bạn có thể vui lòng bao gồm một phương pháp từng bước như cách bạn có phương trình Lặp lại Newton không? Tôi xin lỗi vì đã hỏi rất nhiều câu hỏi, hiện tại tôi chỉ gặp một chút khó khăn.

— mattos

w^{1}

$w^1$

t^{1}

$t^1$

ν

$\nu$

t^{2}

$t^2$

θ = 0

$\theta=0$

Kiểm tra p.127 books.google.co.uk/books?isbn=3540034404 nó có thêm thông tin. Tôi đã thực hiện các thuật toán số với điều đó và nó hoạt động.

— boyfarrell