Có phải thông thường không có kiểm tra hội tụ trong Multigrid?

Tôi vừa đọc Chương 3 trong "Hướng dẫn đa điểm" của Briggs / Henson / McCormick, liên kết .

Văn bản nói về các chu trình Multigrid như chu kỳ V, chu trình mu, FMG. Điều khiến tôi chú ý: Trong hầu hết các quy trình lặp, người ta sẽ kiểm tra xem liệu nó có hội tụ đến dung sai / độ chính xác mong muốn hay không và nếu vậy, quy trình sẽ dừng lại. Nhưng Briggs / Henson / McCormick không sử dụng bất kỳ kiểm tra hội tụ nào trong các sơ đồ được trình bày. Số lần lặp và thu hồi chỉ là mã hóa cứng và người ta phải tin rằng chương trình này sẽ hội tụ.

Vì vậy, làm thế nào điều này được thực hiện trong Multigrid bình thường? Có phải thông thường là số lần lặp / thu hồi chỉ là mã hóa cứng? Tôi thực sự sợ rằng tôi sẽ lãng phí rất nhiều thời gian tính toán vì tôi quá chính xác hoặc mặt khác, độ chính xác sẽ kém trong nhiều trường hợp khi tôi chọn số lần lặp / thu hồi thấp hơn.

Có, bình thường không có kiểm tra hội tụ trong MG vì một vài lý do. Đầu tiên, nếu bạn sử dụng một số lần lặp khác nhau trên mỗi lần vượt qua, thì toán tử MG không còn tuyến tính nữa và bạn sẽ phải sử dụng một cái gì đó như FGMRES như một máy gia tốc có thể chứa một bộ tiền xử lý phi tuyến. Thứ hai, FMG là một bộ giải chính xác (giảm lỗi bên dưới lỗi phân tách) khi nó hoạt động, do đó, việc kiểm tra hội tụ sẽ đưa đồng bộ hóa tốn kém vào thuật toán. Bạn thường sẽ kiểm tra ở cuối chỉ để xác minh sự hội tụ.

Chắc chắn không phải. Để chọn một ví dụ, cuốn sách Multigrid có một âm mưu ở trang 53 (Hình 2.10) cho thấy sự giảm đi của phần dư dưới dạng một hàm của số chu kỳ V hoặc W. Bạn sẽ ngừng đạp xe khi bạn hài lòng với kích thước của phần dư.

Nguồn gốc của sự nhầm lẫn của bạn có thể là do một số mô tả chỉ mô tả một chu kỳ V duy nhất. Trong một số trường hợp hạn chế, vì multigrid là một kỹ thuật mạnh mẽ như vậy, điều này có thể tạo ra một giải pháp phù hợp. Ngoài ra, multigrid có thể được sử dụng như một điều kiện tiên quyết . Trong trường hợp đó, multigrid chỉ là một máy gia tốc và việc kiểm tra sự hội tụ xảy ra ở mức cao hơn. Nhưng kiểm tra nên luôn luôn xảy ra ở đâu đó.

Trong Multigrid được sử dụng làm bộ giải , thông thường định mức tương đối của phần dư được sử dụng làm tiêu chí dừng. Khi bạn giảm tỷ lệ này - độ chính xác của giải pháp sẽ tăng lên. Hơn nữa, ở cấp độ thô nhất, các nhà nghiên cứu làm những việc khác nhau:

1. hoặc giải quyết bằng cách sử dụng một bộ giải trực tiếp (không hội tụ)
2. sử dụng các lần lặp cố định (không hội tụ)
3. sử dụng sự khác biệt kế tiếp giữa các lần lặp làm tiêu chí hội tụ (không phải là một phương pháp tốt vì bạn có thể ở xa giải pháp)
4. Một lần nữa sử dụng định mức tương đối của phần dư làm tiêu chí dừng.

Phương pháp 2 được liệt kê ở trên ở mức độ thô nhất là tốt khi Multigrid được sử dụng làm Chất tiền xử lý (Các chuyên gia của Multigrid ở đây có thể nhận xét - Tôi là người mới bắt đầu).

Vì vậy, trong sự hội tụ nói chung được sử dụng .