Cơ sở không gian liên tục tùy thuộc vào các tham số

Tôi có một ma trận Hermiti phụ thuộc vào hai tham số nói và . Khi tôi cắt chéo nó ở hai điểm gần và tôi nhận được hai giá trị riêng ( và ) và hai eigenspaces tương ứng ( và ) có cùng kích thước. x kỳ năm trước ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ε 1 ε 2 S 1 S $\mathbf{H}$$x$$y$$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$S_1$$S_2$

Lưu ý rằng chúng không phải là giá trị riêng của cùng một ma trận. Có hai ma trận khác nhau: và . H 2 = H ( x 2 , y 2$\mathbf{H}_1=\mathbf{H}(x_1,y_1)$$\mathbf{H}_2=\mathbf{H}(x_2,y_2)$

Tôi có một lưới các điểm và muốn tìm giá trị riêng và không gian điện tử tại bất kỳ điểm nào bằng cách sử dụng phép nội suy. Vấn đề là do các ma trận được chéo hóa bằng số nên các cơ sở của và hoàn toàn độc lập. Ngay cả khi và rất gần nhau, các vectơ cơ sở có thể có các thành phần rất khác nhau.S 1 S 2 ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2$(x_i,y_i)$$S_1$$S_2$$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$

Để nội suy, tôi cần một cơ sở phụ thuộc vào và liên tục, tức là các eigenspaces càng gần và càng gần các vectơ cơ sở.y S 1 S $x$$y$$S_1$$S_2$

Nếu và là đồng bằng trong không gian Euclide 3 chiều thì một cách tốt để chọn cơ sở trong S2 là xoay cơ sở của S1 xung quanh đường thẳng là giao điểm của đồng bằng. Có một cái gì đó tương tự như thế này trong không gian đa chiều phức tạp?S $S_1$$S_2$

Để đơn giản, giả sử rằng chỉ có một tham số chứ không phải hai tham số của bạn.$t$

Để bạn có thể có các eigenspaces liên tục, bạn cần giả định rằng các giá trị riêng liên quan không gần nhau. (Đối với gần như vượt qua các giá trị riêng, rất có thể xảy ra rằng các eigenspaces được trao đổi về cơ bản mặc dù các đường cong eigenvalue không chạm vào. Điều này xảy ra thường xuyên trong các vấn đề eigenvalue tham số đối xứng và được gọi là hiện tượng tránh giao nhau.)

Nếu không gian eigenspace của đến eigenvalue liên tục là không gian cột của khi , bạn cần giả sử một dạng với cố định các hàm cơ bản (ví dụ: B-splines) và là một trong , sau đó khớp với ma trận hệ số và (không gian eigenspace biến đổi thành phương trình gần đúng . Đây là một vấn đề bình phương tuyến tính nhỏ nhất, dễ giải quyết.λ ( t ) Q k t = t k Q ( t ) = Q 0 + Σ j Φ j ( t ) Z j Φ j ( t ) Q 0 Q k Z j Y k Q k Y k - Σ j Φ j ( t k ) Z j ≈ $H(t)$$\lambda(t)$$Q_k$$t=t_k$$Q(t)=Q_0+\sum_j \Phi_j(t) Z_j$$\Phi_j(t)$$Q_0$$Q_k$$Z_j$$Y_k$$Q_k Y_k - \sum_j \Phi_j(t_k) Z_j \approx Q_0$

Với 2 tham số, thay thế các B-splines bằng các hàm hình dạng FEM. Vấn đề bình phương nhỏ nhất của bạn bây giờ có thể trở nên lớn và cần thêm thủ thuật bổ sung để làm cho vấn đề có thể giải quyết được nếu giải pháp trực tiếp là không khả thi.