Tích hợp trong không gian log-log

Tôi đang làm việc với các chức năng, nói chung, mượt mà hơn và hoạt động tốt hơn trong không gian log-log --- vì vậy đó là nơi tôi thực hiện phép nội suy / ngoại suy, v.v., và nó hoạt động rất tốt. Có cách nào để tích hợp các hàm số này trong không gian log-log không?

tức là tôi hy vọng sử dụng một số loại quy tắc hình thang đơn giản để thực hiện tích phân tích lũy (ví dụ: trong python, use scipy.integrate.cumtrapz), để tìm một số $F(r)$ st

$$F(r) = \int_0^r y(x) \, dx$$

Nhưng tôi hy vọng sẽ sử dụng các giá trị $log(y)$ và $log(x)$ , thay vì $y$ và $x$ (khi có thể).

Bạn chỉ có thể thay đổi các biến. Đặt , b ( a ) = l o g ( y ( x ) ) . Tích phân trở thành$a=log(x)$$b(a)=log(y(x))$

$F(r)=\int^{log(r)}_{-\infty} exp(a+b) da$

Bạn cần phải có một chút cẩn thận bởi vì bạn đang tích hợp từ . Những gì bạn phải làm chính xác sẽ phụ thuộc vào y ( x ) trông như thế nào.$-\infty$$y(x)$

Tôi không sử dụng python, nhưng nếu tôi hiểu đúng rồi bởi bạn đang nghĩ đến một cái gì đó giống như F = i n t e g r một t e ( y , x ) nơi F = [ F 1 , . . . , F n ] là một vectơ lấy mẫu tích phân trên lưới x .

$$F(r)=\int_0^ry(x)dx$$ $$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\mathbf{y},\mathbf{x})$$ $\mathbf{F}=[F_1,...,F_n]$$\mathbf{x}$

Tuy nhiên bạn không phải mẫu của và y , mà là bạn có mẫu x = log ( x ) và y = log ( y ) .$x$$y$$\hat{x}=\log(x)$$\hat{y}=\log(y)$

Tất nhiên phương pháp đơn giản nhất sẽ là nhưng điều này sẽ dễ bị lỗi, bởi vì y ( x ) không được mịn, thậm chí mặc dù y ( x ) là.

$$\mathbf{F}=\mathrm{integrate}(\exp(\mathbf{\hat{y}}),\exp(\mathbf{\hat{x}})) ,$$ $y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$

Bây giờ, quy tắc hình thang về cơ bản giả định đầu vào của bạn là tuyến tính. Vì vậy, các khái quát đơn giản sẽ cho bạn cho rằng y ( x ) là piecewise tuyến tính.$y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$

Trong trường hợp này, việc xác định , bạn có Δ F k = ∫ x k + 1 x k y ( x ) d x = ∫ x k + 1 x k e y ( x ) e x d x = ∫ x k $\Delta F_k=F_{k+1}-F_k$

$$\Delta F_k=\int_{x_k}^{x_{k+1}}y(x)dx =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}e^{\hat{y}(\hat{x})}e^\hat{x}d\hat{x} =\int_{\hat{x}_k}^{\hat{x}_{k+1}}\tilde{y}(\hat{x})d\hat{x}$$

Sau đó, xác định , bạn có y k + t ≈ y k + t Δ y k và ~ y ( t ) ≈ một e b t , với một = e y k + x k và b = $t=(\hat{x}-\hat{x}_k)/\Delta \hat{x}_k$

$$\hat{y}_{k+t} \approx \hat{y}_k + t \Delta \hat{y}_k$$ $\tilde{y}(t) \approx a e^{bt}$$a=e^{\hat{y}_k+\hat{x}_k}$.$b=\Delta \hat{y}_k+\Delta \hat{x}_k$

Vì vậy, không thể tách rời trở nên

$$\Delta F_k \approx a \Delta \hat{x} \int_0^1e^{bt}dt = a \Delta \hat{x} \frac{e^b-1}{b}$$

Trong Matlab, nó sẽ trông giống như

dlogx=diff(logx); dlogy=diff(logy); k=1:length(logx)-1;  
b=dlogx+dlogy; a=exp(logx+logy);  
dF=a(k).*dlogx.*(exp(b)-1)./b;  
F=cumsum([0,dF]);

Hi vọng điêu nay co ich!

$y(x)$$\hat{y}(\hat{x})$$\mathbf{\hat{x}}$$F(\hat{x}_1)=0$

$(x_i, y_i)$$(x_{i+1}, y_{i+1})$$y = C_i x^{n_i}$$i$$n_i = \ln(y_i/y_{i+1})/\ln(x_i/x_{i+1})$$C_i = \ln(y_i) - n_i\ln(x_i)$$i$

$$\Delta F_i = \int_{x_i}^{x_{i+1}} C_i x^{n_i}dx = \left\{ \begin{array}{l@{\quad}l} \frac{C_i}{n_i + 1} (x_{i+1}^{n_i+1} - x_i^{n_i+1}), & n_i \neq -1 \\ C_i(\ln x_{i+1} - \ln x_i), & n_i=-1, \end{array} \right.$$ $n_i=-1$

Tôi nghĩ rằng có một chút nhầm lẫn với sự thay đổi của các biến trong một số câu trả lời trước đó cũng như một số lỗi. Tích phân của hàm log không phải là log của tích phân. Tôi nghĩ nói chung rất khó để viết ra tích phân của một hàm biết tích phân của nhật ký của nó. Nếu ai biết làm thế nào tôi sẽ quan tâm.

Trong khi đó, giải pháp của @ Stefan ở trên là cách để tích hợp một chức năng trong không gian log-log. Điểm khởi đầu là chức năng bạn đang xử lý là tuyến tính trong không gian log-log cho các phân đoạn đủ nhỏ.

$$\log(y_1)=m_1 \log(x_1) + n_1$$ $$\log(y_2)=m_1 \log(x_1) + n_1$$

$m_1$$n_1$

Bằng cách trừ hai, người ta có thể tìm thấy:

$$m_1=\frac{\log(y_1) -log(y_2)}{\log(x_1)-log(x_2)}$$

$$n_1=\log(y_1)-m_1 \log(x_1)$$

Nếu trong không gian log-log, phương trình của một đoạn gần với một dòng thì trong không gian (tuyến tính) bình thường, phương trình của đoạn đó gần với số mũ:

$$y(x)\simeq x^{m} e^{n}$$

Nếu chúng ta có một công thức phân tích cho phân khúc này, nó rất dễ tích hợp:

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = \frac{e^{n_1}}{m_1+1}(x_2^{m_1+1}-x_1^{m_1+1}), \,\, \text{for } \, m\neq -1$$

$$\int_{x_1}^{x_2}y(x)dx = e^{n_1} \log \frac{x_2}{x_1},\, \,\text{for } \, m = -1$$

Điều này cảm thấy giống như gian lận, nhưng đây là lấy mẫu trong không gian log-log để chúng ta có thể xấp xỉ hàm trong không gian tuyến tính theo cấp số nhân với các tham số xuất phát từ không gian log-log.

Giải pháp tôi sử dụng về cơ bản là thực hiện quy tắc hình thang và sử dụng scipy.misc.logsumexpchức năng để duy trì độ chính xác. Nếu bạn có một số hàm lnytrả về logarit ythì bạn có thể làm, vd:

từ scipy.misc nhập logumbao
nhập numpy như np

xmin = 1e-15
xmax = 1e-5

# nhận các giá trị của x cách nhau logarit
xvs = np.logspace (np.log10 (xmin), np.log10 (xmax), 10000)

# đánh giá chức năng của bạn tại xvs
lys = lny (xvs)

# thực hiện tích hợp quy tắc hình thang
deltas = np.log (np.diff (xvs))
logI = -np.log (2.) + logumapi ([logumbao (lys [: - 1] + deltas), logumbao (lys [1:] + deltas)])

Giá trị logIlà nhật ký của tích phân mà bạn muốn.

Rõ ràng điều này sẽ không hoạt động nếu bạn cần thiết lập xmin = 0. Nhưng, nếu bạn có một số giới hạn thấp hơn không dương đối với tích phân, bạn chỉ có thể chơi với số điểm trong xvsđể tìm một số mà tích phân hội tụ.