Lặp đi lặp lại “giải quyết” cho

Tôi không thể tưởng tượng tôi là người đầu tiên nghĩ về vấn đề sau, vì vậy tôi sẽ hài lòng với một tài liệu tham khảo (nhưng một câu trả lời chi tiết, đầy đủ luôn được đánh giá cao):

Giả sử bạn có một dương tính rõ ràng đối xứng . được coi là rất lớn, vì vậy giữ trong bộ nhớ là không thể. Tuy nhiên, bạn có thể đánh giá , với mọi . Đưa ra một số , bạn muốn tìm . $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ $n$ $\Sigma$ $\Sigma x$ $x \in \mathbb{R}^{n}$ $x \in \mathbb{R}^{n}$ $x^t\Sigma^{-1}x$

Các giải pháp đầu tiên mà nói đến cái tâm là tìm sử dụng (nói) gradient liên hợp. Tuy nhiên, điều này có vẻ hơi lãng phí - bạn tìm kiếm một vô hướng và trong quá trình bạn tìm thấy một vectơ khổng lồ trong . Có vẻ như để làm cho ý nghĩa hơn để đưa ra một phương pháp để tính toán vô hướng trực tiếp (tức mà không đi qua ). Tôi đang tìm kiếm loại phương pháp này. $\Sigma^{-1}x$ $\mathbb{R}^{n}$ $\Sigma^{-1}x$

linear-algebra numerical-analysis iterative-method

— Yair Daon
nguồn

Σ = A^{T} A

$\Sigma = A^TA$

A

$A$

@ GeoMatt22 tiếc là không. Nhưng hãy nói nó làm - bạn sẽ đề nghị gì trong trường hợp đó?

— Yair Daon

Yair, tôi chỉ nghĩ nếu có một ma trận nhỏ hơn để làm việc với ... không chắc nó sẽ giúp được gì. Bạn đã thử googling "ma trận khoảng cách mahalanobis" hoặc tương tự? Xin lỗi để không được giúp đỡ nhiều hơn!

— GeoMatt22

Cảm ơn @ GeoMatt22, tôi không thể tìm thấy bất cứ điều gì trực tuyến.

— Yair Daon

$y=\Sigma^{-1}x$

$\Sigma$ $\lambda_i,v_i$ $\Sigma=V^T L V$ $V$ $v_i$ $L$ $\Sigma^{-1}=V^T L^{-1} V$

x^{T} Σ^{- 1} x = x^{T} V^{T} L^{- 1} V x = \sum_{i} λ_{i}^{- 1} (v_{i}^{T} x)^{2} .

$x^T \Sigma^{-1} x = x^T V^T L^{-1} V x = \sum_i \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2.$

V

$V$

Σ

$\Sigma$

m

$m$

λ_{i}^{- 1}

$\lambda^{-1}_i$

i > m

$i>m$

x^{T} Σ^{- 1} x = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}^{- 1} (v_{i}^{T} x)^{2} \approx \sum_{i = 1}^{m} λ_{i}^{- 1} (v_{i}^{T} x)^{2} .

$x^T \Sigma^{-1} x = \sum_{i=1}^n \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2 \approx \sum_{i=1}^m \lambda_i^{-1} (v_i^T x)^2.$

m

$m$

n

$n$

$y=\Sigma^{-1}x$

— Wolfgang Bangerth
nguồn

m

$m$

x^{T} Σ^{- 1} x

$x^T\Sigma^{-1}x$

Bạn có thể đề xuất một phương pháp sau đó?

— Yair Daon

Có rất nhiều hoặc giải quyết eigenvalue xung quanh. ARPACK và SLEPc dựa trên PETSc có lẽ là những cái được sử dụng rộng rãi nhất.

— Wolfgang Bangerth

m

$m$

n \times n

$n \times n$