Đại số đa biến: Tại sao sản phẩm của phép nội suy và hạn chế không dẫn đến kết quả nào đó với định mức 1?

Tôi hiện đang làm việc với "Hướng dẫn đa luồng" của Briggs et al, Chương 8.

Việc xây dựng toán tử nội suy được đưa ra là:

Sau đó, việc xây dựng toán tử hạn chế và toán tử lưới mịn được đưa ra là:

Giả sử chúng ta có ba điểm lưới x0, x1, x2 với điểm giữa x1 là tốt và các điểm khác là thô. Một ở giữa được nội suy bởi x1 = x0*w0 + x2*w2. Do đó, toán tử nội suy là (trong Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

Toán tử hạn chế là:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Bây giờ hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu một người sẽ hạn chế và sau đó nội suy trực tiếp, điều gì dẫn đến sự nhân lên Ivà transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Tôi hy vọng rằng ma trận này là một cái gì đó giống như một ma trận danh tính hoặc ít nhất sẽ có định mức 1 hoặc một cái gì đó. Nhưng nếu chúng ta áp dụng x = [1, 1, 1] để giả sử w0 = w2 = 0,5, chúng ta sẽ nhận được [1,5 1,5 1,5]. Tôi cho rằng các hoạt động nội suy hạn chế được áp dụng nhiều lần ít nhất sẽ hội tụ vào một cái gì đó. Nhưng không, trong trường hợp đó, tất cả các thành phần vectơ được nhân với 1,5 trên mỗi phép nội suy giới hạn. Điều đó có vẻ rất lạ đối với tôi.

Bất cứ ai có thể giải thích những gì đang xảy ra?

Một lời giải thích đơn giản hơn - phạm vi của toán tử hạn chế là không gian lưới thô, trong khi phạm vi của toán tử nội suy là không gian lưới mịn. Trừ khi cả hai bằng nhau, phép nội suy + hạn chế sẽ không dẫn đến ma trận danh tính, bởi vì sẽ luôn có các thành phần của bị cắt bởi toán tử hạn chế và bị mất. $x$

$I^TI$

$E$$EI$$EI$$(EI)(EI)=EI$