Sự khác biệt giữa định mức l2 và định mức L2

Sự khác biệt giữa định mức $l^2$ và định mức $L^2$ . Tôi không thể tìm thấy một tài liệu tham khảo dứt khoát. Wikipedia sử dụng chúng thay thế cho nhau.

Cả hai định mức đều giống nhau ở chỗ chúng được tạo ra bởi sản phẩm vô hướng của không gian Hilbert tương ứng, nhưng chúng khác nhau vì các không gian khác nhau được cung cấp cho các sản phẩm bên trong khác nhau:

• $\mathbb{R}^N$$v = (v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$

  $$\|v\|_{2}^2 = (v,v)_{2} = \sum_{i=1}^N v_i^2.$$

• Với (không gian của các chuỗi thực có định mức sau là hữu hạn), định mức của được xác định bởi v = { v i } i ∈ N ∈ ℓ $\ell^2$$v = \{v_i\}_{i\in\mathbb{N}} \in \ell^2$

  $$\|v\|_{\ell^2}^2 = (v,v)_{\ell^2} = \sum_{i=1}^\infty v_i^2.$$

• Đối với (không gian của các hàm có thể đo lường Lebesgue trên miền bị giới hạn trong đó định mức sau là hữu hạn), chỉ tiêu của được định nghĩa bởi $L^2(\Omega)$$\Omega\subset\mathbb{R}^d$$u\in L^2(\Omega)$

  $$\|u\|_{L^2}^2 = (u,u)_{L^2} = \int_\Omega u(x)^2\,dx.$$

Tất cả điều này là tiêu chuẩn, có thể được tìm thấy trong bất kỳ sách giáo khoa giới thiệu về phân tích chức năng, và có lẽ bạn đã biết. Vì câu hỏi được gắn thẻ ước tính lỗi , bạn có thể quan tâm đến sự khác biệt thực tế trong việc sử dụng cái này hay cái kia, ví dụ cho sự phân biệt phần tử hữu hạn. Giả sử bạn có không gian con chiều hữu hạn là khoảng của một số hữu hạn các hàm cơ bản . Sau đó, bất kỳ có thể được viết là Vì , tất nhiên bạn có thể đo bằng$V_h\subset L^2(\Omega)$$\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$$u_h\in V_h$

$$u_h = \sum_{i=1}^N u_i \varphi_i. \tag{1}$$ $V_h\subset L^2(\Omega)$$u_h$$L^2$định mức. Ngoài ra, bạn có thể xác định bằng vectơ (đôi khi được gọi là đẳng cấu tọa độ ) và đo theo chỉ tiêu Euclide của .$u_h$$\vec u:=(u_1,\dots,u_N)^T\in\mathbb{R}^N$$u_h$$\vec u$

Làm thế nào để hai cách đo so sánh? Cắm vào định nghĩa mang lại trong đó là khối lượng ma trận với các mục . Để so sánh, chúng ta có $u_h$$(1)$

$$\|u_h\|_{L^2}^2 = (u_h,u_h)_{L^2} = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N u_iu_j \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx = \vec u^T M_h \vec u,$$ $M_h\in \mathbb{R}^{N\times N}$$M_{ij} = \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx$ $$\|u_h\|_{\ell^2}^2 := \|\vec u\|_2^2 = \vec u^T \vec u.$$

Do đó, cả hai định mức đều tương đương nhau, tức là tồn tại các hằng số sao cho Vì vậy, về nguyên tắc, bạn có thể sử dụng cả hai định mức có thể hoán đổi cho nhau - nếu sai số về 0 trong một định mức, thì nó cũng chuyển sang 0 trong định mức khác và với cùng tỷ lệ. Tuy nhiên, lưu ý rằng trong khi hằng và độc lập với , họ phụ thuộc vào , và đặc biệt là về . Điều này rất quan trọng nếu bạn muốn so sánh các lỗi phân cho các không gian khác nhau với (giả sử)$c_1,c_2>0$

$$c_1\|u_h\|_{\ell^2}\leq \|u_h\|_{L^2} \leq c_2 \|u\|_{\ell^2}\qquad\text{for all }u_h\in V_h.$$ $c_1$$c_2$$u_h$$V_h$$N$$V_h$$N_1<N_2$, trong trường hợp đó, bạn nên sử dụng một định mức không phụ thuộc vào hoặc , tức là định mức . (Bạn có thể thấy điều này bằng cách lấy làm hàm hằng và so sánh cho khác với - các thang đo trước đây là , trong khi cái sau có cùng giá trị cho mọi , vì ma trận khối lượng bù cho tỷ lệ.)$N_1$$N_2$$L^2$$u_h$$u_h=1$$\|u_h\|_{\ell^2}$$N$$\|u_h\|_{L^2}$$\sqrt{N}$$N$

Ngoài ra còn có phương án thứ ba - trung gian - thay thế, trong đó ma trận khối được xấp xỉ bằng ma trận đường chéo (ví dụ: bằng cách lấy các phần tử đường chéo của tổng của hàng tương ứng ) và định mức được lấy là ; điều này thường được gọi là khối lượng lớn . Chỉ tiêu này cũng tương đương với cả và mức - và trong trường hợp này, hằng và khi so sánh và khối lượng lumping mức làm không phụ thuộc vào .$D_h$$D_h$$M_h$$\|u_h\|_{D}^2:=\vec u^T D_h\vec u = \sum_{i=1}^N (D_h)_{ii} u_i^2$$\ell^2$$L^2$$c_1$$c_2$$L^2$$N$

Định mức 2 cho chuỗi được ký hiệu là . Đối với các hàm trên dòng thực là ký hiệu chuẩn của định mức 2.$\ell^2$$L^2$