Sơ đồ sai phân hữu hạn cho dòng chảy không nhiệt nén trong môi trường xốp

Thách thức của tôi là giải quyết các hệ phương trình sau, mô tả quá trình đốt cháy khí trong môi trường xốp:

1) Liên tục

$\varepsilon \frac{\partial \rho_g}{\partial t} +\frac{\partial}{\partial x} \left(\rho_g u_x\right)=0$

2) Luật Darcy (đà)

$u_x=-\frac{k}{\mu} \frac{\partial p}{\partial x}$

3) Phương trình trạng thái, lưu ý nhiệt độ thay đổi

$\rho_g=\frac{M_Rp}{RT_g(x)}$

4) Phương trình năng lượng của khí.

5) Phương trình năng lượng cho pha rắn

Tôi đã giải thích thành công và giải quyết trường hợp vận tốc, áp suất và mật độ được giả định không đổi, tức là ba phương trình đầu tiên rơi ra. Nhưng việc giải quyết phần khí động học đã chứng tỏ là một vấn đề.

Áp dụng sơ đồ hướng gió lên 1) (như đã đề xuất ở đây: Một sự khác biệt hữu hạn tốt cho phương trình liên tục ) có nghĩa là một tiêu chí ổn định thực sự khắc nghiệt trên dấu thời gian, tôi buộc phải có mức thấp nhất là 1e-6 với không gian 1e-2 dấu thời gian, ngay cả khi tôi lấy trường hợp đẳng nhiệt, coi thường sự đốt cháy trong thời gian hiện tại. Và tôi cần ít nhất 1e-3 để giải các phương trình năng lượng.

Ba phương trình đầu tiên cũng có thể được kết hợp với nhau để tạo thành

$\frac{\partial p}{\partial t} +C\frac{\partial^2}{\partial x^2} \left(p^2 \right)=0$

nhưng chỉ trong trường hợp đẳng nhiệt , vì vậy đó là rất ít giúp đỡ.

Tôi biết rằng mọi người đã giải quyết 1) -5) và 6) trước đây, nhưng tôi không thể tìm thấy mô tả về các phương án họ đã sử dụng. Tôi đã cố gắng tìm kiếm các bài viết về dòng chảy nén trong môi trường xốp, nhưng tất cả chúng đều xử lý các mô hình phức tạp hơn (đa pha, chất rắn biến dạng, v.v.) và sử dụng các phương pháp giải quyết rất phức tạp.

Ai đó có thể đề xuất một sơ đồ FD tốt cho (1) - (3) hoặc cho biết các tiêu chí ổn định được hình thành như thế nào nếu một người chỉ sử dụng upwinding như tôi đã làm?

finite-difference fluid-dynamics

— tiam
nguồn

Có một lý do tại sao bạn hoàn toàn cần phải sử dụng phương pháp khác biệt hữu hạn? Mô phỏng động lực học chất lỏng được giải quyết tự nhiên hơn bằng phương pháp khối lượng hữu hạn bởi vì nó là bảo thủ tự nhiên.

— Paul

Vâng, vâng, lý do là việc thay đổi phương thức có nghĩa là viết lại tất cả các mã tôi có bây giờ và tôi có thời hạn khá nghiêm ngặt đối với dự án này, chưa đầy một tuần. Tôi sẽ có thể báo cáo mọi thứ bằng mọi cách, nhưng tôi muốn đi đến tận cùng của mọi thứ :). Hãy gửi một giải pháp khối lượng hữu hạn mặc dù!

— tiam

@Paul Đúng, nhưng chỉ khi OP hoạt động trên lưới không đồng nhất. Trong trường hợp của một lưới hình chữ nhật đồng nhất, sự phân rã khối lượng hữu hạn suy biến thành sự khác biệt hữu hạn. Ý kiến của tôi là, nếu ứng dụng cho phép, FD là tuyệt vời cho việc học cơ bản, và sau đó FV là bước tiếp theo.

— milancurcic

@ Paul / @ IRO-bot Nó tinh tế hơn thế. Phương pháp khác biệt bảo thủ hữu hạn cao tồn tại. Có rất nhiều sự tương đương, đặc biệt là đối với các phương thức đơn giản, ở một mức độ nào đó, sự lựa chọn chỉ có ý nghĩa khi chúng tôi hỏi thành phần nào của phương pháp bạn muốn giữ cố định khi bạn mở rộng phương thức theo một hướng nhất định.

— Jed Brown

M_{R P}

$M_{RP}$

$\frac{u\Delta t}{\Delta x} < 1$

Trong các phương pháp Galerkin không liên tục (DG), việc sử dụng các phương pháp Runge-Kutta bảo tồn ổn định mạnh (SSP) đang trở nên phổ biến. Mặc dù đây là các phương thức rõ ràng, nhưng chúng thường cho phép sử dụng một số bội số Courant thông thường không giống như phương thức Euler chuyển tiếp đơn giản. Điều đó có nghĩa là bạn có thể thực hiện các bước thời gian dài hơn nhưng với chi phí cao hơn cho mỗi bước thời gian. Có thể điều chỉnh các phương pháp SSPRK cho vấn đề của bạn, nhưng tôi chỉ thấy nó được thực hiện cho các phương pháp DG và sự hiểu biết của tôi về khả năng áp dụng của chúng bị hạn chế.

Có thể sử dụng một phương thức ẩn trong thời gian vì chúng ổn định vô điều kiện. Để giữ độ chính xác ở mức chấp nhận được, bạn có thể sẽ quay lại với giới hạn ban đầu ở bước thời gian. Cuốn sách của LeVeque dường như đề xuất rằng sử dụng phương pháp Euler lạc hậu hoặc phương pháp Adams để phân biệt thời gian và phân biệt trung tâm cho đạo hàm không gian có thể hoạt động.

Tôi thứ hai bỏ phiếu cho các phương pháp Khối lượng hữu hạn hoặc, nếu bạn muốn thử thách, các phương thức DG.

— Ken
nguồn