Phổ gần đúng của một ma trận lớn

Tôi muốn tính phổ ( tất cả các giá trị riêng) của một ma trận thưa thớt lớn (hàng trăm ngàn hàng). Điều này thật khó.

Tôi sẵn sàng giải quyết cho một xấp xỉ. Có phương pháp gần đúng để làm điều này?

Trong khi tôi hy vọng câu trả lời chung cho câu hỏi này, tôi cũng sẽ hài lòng với câu trả lời trong trường hợp cụ thể sau đây. Ma trận của tôi là một Laplacian chuẩn hóa của một đồ thị lớn. Eigenvalues ​​sẽ nằm trong khoảng từ 0 đến 2 với một số lượng lớn trong số chúng được tập hợp xung quanh 1.

Nếu đồ thị của bạn không bị ảnh hưởng (như tôi nghi ngờ), ma trận là đối xứng và bạn không thể làm gì tốt hơn thuật toán Lanczsos (với tính năng tái cấu trúc chọn lọc nếu cần thiết cho sự ổn định). Vì phổ đầy đủ bao gồm 100000 số, tôi cho rằng bạn chủ yếu quan tâm đến mật độ phổ.

Để có được mật độ phổ gần đúng, hãy lấy phổ của không gian con Krylov hàng đầu có kích thước 100 hoặc hơn, và thay thế mật độ riêng biệt của nó bằng một phiên bản được làm mịn.

Phổ Krylov hàng đầu sẽ giải quyết gần như các giá trị riêng biệt (nên tồn tại), gần đúng với các giá trị riêng ở cuối phổ không phân ly và có phần ngẫu nhiên ở giữa, với phân bố có chức năng phân phối tích lũy giống với phổ phân phối . Nó sẽ hội tụ với nó theo số học chính xác nếu kích thước phát triển. (Nếu toán tử của bạn là vô hạn, thì đây vẫn là trường hợp và bạn sẽ có được tích phân của hàm mật độ phổ thực sự trên phổ liên tục.)

Câu trả lời của Arnold Neumaier được thảo luận chi tiết hơn trong phần 3.2 của bài viết "Mật độ phổ xấp xỉ của ma trận lớn" của Lin Lin, Yousef Saad và Chao Yang (2016) .

Một số phương pháp khác cũng được thảo luận nhưng phân tích số ở cuối bài báo cho thấy phương pháp Lanczos vượt trội hơn các phương án này.

Nếu bạn ổn khi nghĩ về những thứ không phải là giá trị bản địa nhưng các chức năng mà theo một nghĩa nào đó vẫn cho bạn biết điều gì đó về quang phổ, thì tôi nghĩ bạn nên xem một số công việc của Mark Embree tại Đại học Rice.

Đây là một cách khác để mô tả phổ.

$\mathbf{A} v_k = \lambda_k v_k$$\mathbf{A}$

$$S(\omega) = \sum_k \frac{\pi^{-1}\sigma}{\sigma^2 + (\lambda_k - \omega)^2} = \frac{\sigma}{\pi} \mathop{\mathrm{Tr}} [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1}$$ $$S(\omega) = \frac{\sigma}{\pi}\langle z^T [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z \rangle$$ $z$$+1$$-1$$\sigma$$\omega$$[\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z$$[\omega + i \sigma - \mathbf{A}]^{-1} [\omega - i \sigma - \mathbf{A}]^{-1}$$S(\omega)$

$\omega$

$\omega$

Xem bài báo "Phân tích phổ xấp xỉ dựa trên lấy mẫu" của Sanjiv Kumar, Mehryar Mohri & Ameet Talwalkar (ICML 2009.). Nó sử dụng lấy mẫu các cột của ma trận của bạn.

Vì ma trận của bạn là đối xứng, bạn nên làm như sau:

Đặt A là ma trận n * n của bạn. Bạn muốn giảm việc tính toán các giá trị riêng của ma trận n * n thành tính toán của các giá trị riêng của ma trận k * k. Đầu tiên chọn giá trị của bạn là k. Giả sử bạn chọn k = 500, vì bạn có thể dễ dàng tính toán giá trị riêng của ma trận 500 * 500. Sau đó, chọn ngẫu nhiên k cột của ma trận A. Tương phản ma trận B chỉ giữ các cột này và các hàng tương ứng.

B = A (x, x) cho một bộ chỉ số k ngẫu nhiên x

B bây giờ là ma trận ak * k. Tính giá trị riêng của B và nhân chúng với (n / k). Bây giờ bạn có các giá trị k được phân phối xấp xỉ như n giá trị riêng của A. Lưu ý rằng bạn chỉ nhận được giá trị k, không phải n, nhưng phân phối của chúng sẽ chính xác (thực tế là chúng là một xấp xỉ).

Bạn luôn có thể sử dụng giới hạn Định lý vòng tròn Gershgorin để tính gần đúng các giá trị riêng.

Nếu các điều khoản ngoài đường chéo là nhỏ, chính đường chéo là một xấp xỉ tốt của phổ. Mặt khác, nếu bạn kết thúc với một xấp xỉ không gian eigens (bằng các phương thức khác), bạn có thể cố gắng thể hiện các mục chéo trong hệ thống này. Điều này sẽ dẫn đến một ma trận với các điều khoản ngoài đường chéo nhỏ hơn và đường chéo mới sẽ là một xấp xỉ tốt hơn của phổ.