kết hợp của phương pháp phần tử hữu hạn khi phía bên tay phải chỉ trong (Poisson eqn)

Tôi biết rằng xấp xỉ phần tử hữu hạn tuyến tính piecewise của thỏa mãn với điều kiện đủ mượt và . $u_h$

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

Câu hỏi: Nếu $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$ , chúng ta có ước tính tương tự sau không, trong đó một đạo hàm được lấy đi ở cả hai phía:

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

bạn có thể cung cấp tài liệu tham khảo?

Suy nghĩ: Vì chúng ta vẫn có $u\in H^1_0(U)$ , nên có thể có được sự hội tụ trong $L^2(U)$ . Theo trực giác, điều này thậm chí có thể được thực hiện với các hàm hằng số piecewise.

— Tuneaach
nguồn

Tôi nghĩ rằng bạn nhận được

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$ từ thủ thuật Nitsche tiêu chuẩn ngay cả đối với

u \in H^{1}

$u \in H^1$ . Bạn có thể tìm thấy ví dụ này trong các phần tử Braess - Finite.

— knl

Vâng , đây là thủ thuật tiêu chuẩn Aubin-Nitsche (hoặc đối ngẫu ). Ý tưởng là sử dụng thực tế rằng là không gian kép của riêng nó để viết -norm làm định mức toán tử Do đó, chúng tôi phải ước tính cho tùy ý . Để làm điều đó, chúng tôi "nâng" lên bằng cách xem xét đầu tiên cho tùy ý giải pháp của vấn đề kép $L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ Sử dụng tính đều đặn tiêu chuẩn của phương trình Poisson, chúng ta biết rằng

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

Chèn trong và sử dụng Galerkin trực giao cho bất kỳ phần tử hữu hạn (trong trường hợp của bạn, piecewise linear) chức năng mang lại ước tính Vì điều này đúng với tất cả , sự bất bình đẳng vẫn đúng nếu chúng ta lấy mức tối ưu trên tất cả tuyến tính từng . Do đó, chúng tôi có được $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ Đây là Aubin-Nitsche-Lemma .

Bước tiếp theo bây giờ là sử dụng các ước tính lỗi tiêu chuẩn cho xấp xỉ phần tử hữu hạn tốt nhất của các giải pháp cho phương trình Poisson. Vì chỉ ở , nên chúng tôi không có ước tính tốt hơn Nhưng may mắn thay, chúng ta có thể sử dụng thực tế là có độ đều đặn cao hơn vì phía bên tay phải thay vì . Trong trường hợp này, chúng tôi có Chèn và vào $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ hiện mang lại ước tính mong muốn.

(Lưu ý rằng các ước tính tiêu chuẩn đòi hỏi mức độ đa thức của xấp xỉ phần tử hữu hạn và Sobolev mũ của giải pháp đúng thỏa mãn , vì vậy lập luận này không làm việc cho liên tục piecewise ( ) xấp xỉ. Chúng tôi cũng đã sử dụng - tức là chúng tôi có một xấp xỉ phù hợp - điều này không đúng với các hằng số piecewise.) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

Vì bạn đã yêu cầu tham chiếu: Bạn có thể tìm thấy một câu lệnh (ngay cả đối với các không gian Sobolev âm thay vì ) trong Định lý 5.8.3 (cùng với Định lý 5.4.8) trong $H^{-s}$ $L^2$

Susanne C. Brenner và L. Ridgway Scott , MR 2373954 Lý thuyết toán học về phương pháp phần tử hữu hạn , Các nội dung trong Toán học ứng dụng ISBN: 980-0-387-75933-3.

— Christian Clason
nguồn

Và tôi có thể sử dụng tính năng trích dẫn mới sáng bóng của chúng tôi :)

— Christian Clason

Cảm ơn câu trả lời của bạn, nhưng các chức năng liên tục không được nhúng vào phải không?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— Tunea

Vâng, xin lỗi, tôi đã vuốt ve ở đó - chúng dày đặc, nhưng không được nhúng. Đối số đối ngẫu hoạt động như nhau, mặc dù (chỉ hoạt động với và trực tiếp). Tôi sẽ chỉnh sửa câu trả lời của tôi cho phù hợp.

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— Christian Clason

Cảm ơn đã cập nhật rộng rãi. Và để tìm một trích dẫn sáng bóng khác

— Tunea 3/2/2017

@Praveen Tôi không nghĩ bạn cần bất kỳ lý thuyết nào ở đây. Đơn giản chọn là hằng số không.

v_{h}

$v_h$

— Tunea