Làm thế nào tôi có thể xấp xỉ một tích phân không đúng?

13

Tôi có hàm sao cho là hữu hạn và tôi muốn tính gần đúng tích phân này. $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

Tôi quen thuộc với các quy tắc bậc hai và các xấp xỉ tích phân monte carlo, nhưng tôi thấy một số khó khăn khi thực hiện chúng trong một miền vô hạn. Trong trường hợp monte carlo, làm thế nào để đi lấy mẫu một vùng vô hạn (đặc biệt là nếu các vùng đóng góp đáng kể hơn cho tích phân không xác định)? Trong trường hợp cầu phương, làm thế nào để tôi tìm được điểm tối ưu? Tôi có nên đơn giản sửa một vùng lớn tùy ý tập trung xung quanh gốc và áp dụng quy tắc bậc hai thưa thớt không? Làm thế nào tôi có thể đi về xấp xỉ tích phân này?

monte-carlo quadrature

— Paul
nguồn

20

Trong một chiều, bạn có thể ánh xạ khoảng vô hạn của mình thành khoảng hữu hạn bằng cách sử dụng tích hợp bằng cách thay thế, ví dụ:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

Trong đó là một số hàm tắt đến vô cùng trong một phạm vi hữu hạn, ví dụ : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

Sau đó, bạn có thể sử dụng bất kỳ thói quen cầu phương số thông thường nào cho tích phân hữu hạn đã sửa đổi.

Thay thế cho nhiều biến là một chút phức tạp hơn, nhưng được mô tả khá tốt ở đây .

— Pedro
nguồn

Điều đó rất thú vị ... Tôi thậm chí chưa bao giờ xem xét khả năng thay thế! Nhưng sự lựa chọn của hàm

có ảnh hưởng gì đến độ chính xác của phép tính gần đúng không?

u (t)

$u(t)$

— Paul

@Paul: Vâng, chắc chắn! Hàm

phải càng mịn càng tốt để giữ cho

càng mịn càng tốt, do đó cho phép tích hợp chính xác hơn.

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

Điều đó đúng, nhưng điều tôi có trong đầu là tốc độ mà u (t) hội tụ đến vô cùng? Điều đó cũng ảnh hưởng đến độ chính xác?

— Paul

1

@Paul: Tôi không biết liệu tôi có hiểu chính xác câu hỏi của bạn không, nhưng chức năng phải kết thúc ở vô cực tại điểm này hay điểm khác. Nếu nó mất thời gian và sau đó tăng trưởng mạnh, thì điều này sẽ giới thiệu một số độ dốc lớn trong

, khiến cho việc tích hợp khó khăn hơn và do đó có thể ảnh hưởng đến độ chính xác.

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

1

Đạo hàm của bạn cho tiếp tuyến là sai; Tôi sửa nó rồi.

— JM

11

Cách làm tiêu chuẩn là trích xuất từ biểu thức cho một tiền tố hàm mũ, biến đổi nó thành , và sau đó sử dụng quy tắc bậc hai Gaussian (hoặc Gauss Kronrod) với trọng số này. Nếu trơn tru, điều này thường cho kết quả tuyệt vời. $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

Trong , cùng hoạt động với trọng số , và các công thức hình khối thích hợp có thể được tìm thấy, ví dụ, trong cuốn sách của Engels, hình vuông số và hình khối. $R^3$ $e^{-|x|^2}$

Các công thức trực tuyến có tại http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

— Arnold Neumaier
nguồn

2

Điều đó hoạt động tốt nếu integrand của bạn là khoảng exp (-x ^ 2). Nếu tích phân của bạn xấp xỉ bình thường, nhưng tập trung vào nguồn gốc, phương pháp này có thể hoạt động kém.

— John D. Cook

1

@ JohnD.Cook: Đó là lý do tại sao tôi đã viết '' trích xuất một tiền tố hàm mũ, biến đổi nó thành

'', thường bao gồm một phép biến đổi tuyến tính, kết hợp một bản dịch di chuyển trung tâm về gốc, và xoay và chia tỷ lệ để tạo ra bộ mức xấp xỉ hình cầu. Các chức năng chính nó có thể là khá xa so với bình thường.

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

— Arnold Neumaier

7

Đối với hình cầu một chiều, bạn có thể kiểm tra sách trên Quadpack (một loại vàng cũ nhưng vẫn rất phù hợp với hình cầu một chiều) và các kỹ thuật được sử dụng trong thuật toán QAGI, một bộ tích hợp tự động cho phạm vi vô hạn.

Một kỹ thuật khác là công thức bậc hai theo cấp số nhân, được Ooura triển khai độc đáo trong một khoảng thời gian vô hạn .

Đối với hình khối, bạn có thể tham khảo Bách khoa toàn thư về công thức hình khối của Ronald Cools.

— GertVdE
nguồn

2

Lưu ý rằng phương trình hàm mũ đôi là một phương pháp thay thế; bạn thực hiện một thay thế biến đổi tích phân phạm vi vô hạn của bạn thành một tích phân phạm vi vô hạn khác có tốc độ phân rã là, theo cấp số nhân ...

— JM

1

@JM Đúng. Và bạn làm điều đó để tận dụng tốt nhất công thức tính tổng Euler-Mclaurin cho quy tắc hình thang, cũng như biến đổi IMT và biến đổi TANH. Một bài báo hay về lịch sử của DE được viết bởi một trong những người sáng lập có thể được tìm thấy ở đây

— GertVdE

6

Nếu bạn nhớ cách thức hoạt động của phương trình bậc hai, thì bạn cũng sẽ biết một cách để tính gần đúng các tích phân vô hạn. Cụ thể: đối với phương trình bậc hai, bạn ước tính hàm mà bạn muốn tích hợp bởi một cái gì đó tương tự, giả sử một đa thức (hoặc một đa thức piecewise) mà bạn có thể viết ra tích phân. Bạn nhận được từ bằng phép nội suy tại các điểm nội suy - mà sau đó sẽ là điểm cầu phương của bạn. $f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

Đối với tích phân vô hạn, một cách tiếp cận sử dụng cùng một suy nghĩ. Ví dụ: bạn có thể thử xấp xỉ trên toàn bộ dòng bằng cách sử dụng hàm đơn giản hơn, ví dụ: với đa thức nội suy tại một số điểm. Có thì công thức đơn giản để tính tích phân $f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ . Việc lựa chọn các điểm nội suy tuân theo logic tương tự như được thực hiện cho đạo hàm bậc hai thông thường. $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

— Wolfgang Bangerth
nguồn

4

Nếu bạn muốn sử dụng tích hợp Monte Carlo, bạn có thể bắt đầu bằng cách sử dụng lấy mẫu quan trọng với bộ lấy mẫu gần đúng với tích phân của bạn. Bộ lấy mẫu của bạn càng khớp với tích phân của bạn, thì càng ít phương sai trong các ước tính tích phân của bạn. Nó không quan trọng hơn miền của bạn là vô hạn miễn là người lấy mẫu của bạn có cùng tên miền.

— John D. Cook
nguồn