Lập luận dễ hiểu rằng các phương pháp Kutta Runge thông thường không thể khái quát thành SDE?

Một cách tiếp cận ngây thơ để giải phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDEs) sẽ là:

• thực hiện một phương pháp Runge băng Kutta nhiều bước thông thường,
• sử dụng sự phân biệt đủ tốt của quy trình Wiener cơ bản,
• làm cho mỗi bước của phương pháp Runge tinh Kutta tương tự như một Euler Kiếm Maruyama.

Bây giờ, điều này thất bại trên nhiều cấp độ và tôi hiểu tại sao. Tuy nhiên, bây giờ tôi có nhiệm vụ thuyết phục mọi người về thực tế này, những người có ít kiến ​​thức về các phương pháp Runge không Kutta và các phương trình vi phân ngẫu nhiên để bắt đầu. Tất cả các lập luận tôi nhận thức được là không có gì tôi có thể giao tiếp tốt trong bối cảnh nhất định. Do đó, tôi đang tìm kiếm một lập luận dễ hiểu rằng cách tiếp cận trên là cam chịu.

Hãy lấy một phương trình vi phân ngẫu nhiên:

Dưới đây là một vài lập luận khác nhau dẫn đến sự hiểu biết trực quan về lý do tại sao toán học đằng sau các phương pháp bậc cao là cần thiết. Tôi sẽ thảo luận về mặt trật tự mạnh, giống như nói "đối với một chuyển động Brown cho trước , tích phân số giải quyết quỹ đạo đó tốt như thế nào?"$W(t)$

Tính thường xuyên của phương trình

Trước hết, phương pháp đề xuất của bạn không tính đến thực tế là không liên tục khác biệt. Trên thực tế, bạn có thể sử dụng kết quả của Rossler để chỉ ra rằng việc mở rộng các phương thức RK bình thường như bạn đề xuất sẽ dẫn đến các phương thức hội tụ, nhưng chúng sẽ chỉ có thứ tự mạnh 0,5. Lý do là bởi vì chúng được tạo ra bằng cách sử dụng phép tính với X t là khác biệt và có một chuỗi Taylor. Chuyển động Brown là không khả vi, và thay vào đó có Chủ liên tục của α < 0,5 là$X_t$$X_t$$\alpha < 0.5$

Tuy nhiên, giống như trong lý thuyết nhiễu loạn, các quy trình không đủ đều đặn không thể mở rộng theo chuỗi Taylor, nhưng với tính đều đặn của Chủ sở hữu chúng có thể được mở rộng theo chuỗi Puiseux với các điều khoản của α , tức là đối với chuyển động Brown có một mở rộng cho khái niệm loạt Taylor được mở rộng về mặt như $\alpha$$\alpha$ dẫn xuất. Giống như trong phép tính thông thường, thuật ngữ đầu tiên là "thuật ngữ tuyến tính", nghĩa là thay đổidtthànhΔtvàdWtthànhN(0,dt)và bạn hiểu điều gì đó đúng. Đây là lý do tại sao các phương thức, bao gồm những thứ như Euler-Maruyama, hội tụ với thứ tự mạnh 0,5: chúng có thuật ngữ đầu tiên trong chuỗi Taylor chính xác. Tuy nhiên, các điều khoản bậc cao hơn cần phải có sự điều chỉnh cho thực tế làXtkhông liên tục khác biệt, đó là lý do tại sao các phương thức bình thường không làm như vậy.$\frac{1}{2}$$dt$$\Delta t$$dW_t$$N(0,dt)$$X_t$

Tương quan tức thời và tích phân lặp

Đó là một lời giải thích nhanh chóng, nhưng có thêm một chút về nó. Hãy xem xét một vài chi tiết khác. Một loạt Taylor không chỉ là sự mở rộng về mặt phái sinh, mà còn có thể được coi là số lượng các điều khoản bậc cao hơn để tích hợp. được tích hợp một lần. Nhưng nếu bạn thêm thuật ngữ d t 2 , để có được các đơn vị đúng, bạn cần thực hiện tích phân kép. d t 2 dễ dàng tích hợp hai lần, nhưng d W i t d W j $X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$$dt^2$$dt^2$$dW_t^i dW_t^j$? Đây là những mối tương quan tức thời giữa các chuyển động Brown. Bạn cần biết điều này để tính tích phân kép. Nếu bạn chỉ nhìn vào mức trung bình, bạn có thể bỏ qua điều này. Nhưng trong bất kỳ quỹ đạo nào cũng có mối tương quan giữa các chuyển động Brown khác nhau của một hệ phương trình vi phân. Giả sử không có mối tương quan giữa các chuyển động Brown là một cách khác để mô tả sự mở rộng của các phương pháp xác định Maruyama, nhưng để có được thuật ngữ tiếp theo trong chuỗi (thuật ngữ 1.0), bạn phải có quyền này. Sự điều chỉnh Milstein chính xác là thêm các thuật ngữ tương quan này. Khi nhiễu là đường chéo, điều này tương đương với việc hiểu rằng không có mối tương quan nào ngoại trừ chính nó, nhưng tương quan với bản thân chỉ là phương sai là $dt$và do đó phải có sự điều chỉnh của so với d t , tức là d W 2 - d t . Khi có nhiễu không theo đường chéo, các tích phân kép này phải được tính gần đúng sao cho các mối tương quan tức thời của các chuyển động Brown được tính đến, và phép tính gần đúng phổ biến ở đây là phép tính gần đúng của Wiktorson (vì không có giải pháp phân tích ngay cả với các tích phân kép).$dW_t^2$$dt$$dW^2 - dt$

Hiệu quả trung bình của khuếch tán

Nhưng điều này dẫn chúng ta đến một cách nghĩ khác về vấn đề. Nghĩ đến việc mở rộng về mặt khoảnh khắc, trong một số ý nghĩa heuristic thuật ngữ thứ tự đầu tiên, thứ tự mạnh 1.0 hoặc , phải có các chuyển động trung bình đúng, phải không? Đây là một câu hỏi: đạo hàm của g trong thời gian là gì? Câu trả lời đơn giản nhất là xác định đạo hàm theo cách thông thường:$\mathcal{O}(\Delta t)$$g$

nhưng điều này không thực sự chính xác khi đưa vào bối cảnh của SDE. Nếu chúng ta nghĩ về đạo hàm của g về mức độ thay đổi của X t , thì không phải lúc nào trung bình cũng chỉ theo cùng một hướng vì nó luôn được nhân với hệ số ngẫu nhiên này d W t . Câu hỏi là: kích thước trung bình của d W t này là bao nhiêu? Khuếch tán có thay đổi nào trên bình quân trên quy mô của $g$$g$$X_t$$dW_t$$dW_t$ , vì vậy trong thực tế ảnh hưởng đến rằngg(t,Xt)đã là giống như$\sqrt{\Delta t}$$g(t,X_t)$

Bạn có thể hiển thị một cách nghiêm ngặt hơn là đạo hàm số phải được điều này với là "người dự đoán về phía trước trong thời gian".$X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

$g$$X_t$$g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$$c_i$$X_{t + c_i\Delta t}$$g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$$g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

Phần kết luận

$\mathcal{O}(\Delta t)$$\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$

Tất nhiên, trong một số trường hợp, có nhiều cách để tìm ra những khái quát phù hợp đưa ra các phương pháp bậc cao hơn, nhưng tôi sẽ để nó như một chủ đề lơ lửng bởi vì đó là một điểm của bài báo tôi sẽ sớm nộp. Hi vọng điêu nay co ich.