Biến đổi tọa độ sai phân hữu hạn cho tọa độ cực hình cầu

Tôi có một phần của một vấn đề được mô tả bởi phương trình bảo toàn động lượng:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\rho u \sin \theta) =0$

Trong đó và (vận tốc không đổi).$u=f(\theta)$$\rho = f(\theta,t)$

Chắc chắn người ta có thể áp dụng một trong những giải pháp được liệt kê ở đây . Vấn đề trong tầm tay được mô tả tốt nhất ở tọa độ cực hình cầu (vỏ hình cầu mỏng) và các giải pháp đó trong Cartesian. Tôi phải thực hiện một số loại chuyển đổi tọa độ trước khi rời rạc phương trình này hoặc tôi có thể loại bỏ nó trực tiếp không?

Thứ hai, có lý do nào trước tiên người ta nên mở rộng đạo hàm trong$\theta$ và sau đó cố gắng phân biệt?

Như một lưu ý - Tôi đã thực hiện một số điều ở trên và đã thu được các giải pháp dường như không nhất quán (về mặt vật lý một cặp đôi dường như có ý nghĩa). Tôi quan tâm đến việc nếu có một chuyển đổi tọa độ thích hợp nên được thực hiện hoặc nếu bất kỳ phương pháp nào được đề cập trước đây sẽ đủ.

BIÊN TẬP:

Tôi định nghĩa từ thông là:

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1} \sin{\theta_{i+1}}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} \sin{\theta_{i-1}} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}}$

Tôi đoán cách 'phù hợp' để xác định từ thông sẽ là đánh giá tại 'ranh giới ô' chứ không phải ở trung tâm ô. Điều này sẽ phù hợp hơn với định nghĩa của thông lượng.$\sin{\theta}$$\pm\frac{1}{2}$

Một câu hỏi cuối cùng - tôi nên làm gì ở ranh giới ( đặc biệt là một vấn đề và tôi chỉ tránh hoàn toàn điểm đó).$\theta = 0$

Không có lý do gì bạn phải chuyển đổi tọa độ trước khi rời rạc phương trình. Tuy nhiên, vì bạn đang sử dụng tọa độ hình cầu, bạn sẽ kết thúc với một hệ thống phi tuyến tính thay vì hệ thống tuyến tính sẽ xuất hiện trong tọa độ cartesian. Nếu bạn muốn làm việc với một hệ thống tuyến tính, bạn sẽ phải thực hiện các phép biến đổi (giống như việc tạo xuất hiện trong câu trả lời đầu tiên của câu hỏi được liên kết của bạn).$\Phi$

Theo như mở rộng đạo hàm trong , tôi khuyên bạn không nên, trừ khi bạn phải thực hiện các phép biến đổi ở trên. Phương trình ở trạng thái hiện tại của nó ở dạng bảo thủ, với tất cả các được ghép với . Khi bạn mở rộng đạo hàm, bạn sẽ mất khớp nối này. Hai giải pháp sẽ hội tụ với nhau bằng các mắt lưới mịn hơn và mịn hơn, tuy nhiên có sự khác biệt khác không giữa chúng. Ngoài ra, một người khác có nhiều kinh nghiệm hơn có thể giải thích về ưu điểm / nhược điểm của hai hình thức, vì mặc dù nó được gọi là dạng bảo thủ của phương trình, nhưng về bản chất, phương pháp khác biệt là không bảo thủ ở một mức độ nào đó .$\theta$$u$$\rho$