Giải hệ thống tuyến tính dày đặc?

Có bất kỳ hy vọng nào trong việc giải quyết hệ thống tuyến tính sau một cách hiệu quả bằng phương pháp lặp không?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

với

, nơi Δ là một ma trận rất thưa thớt với một vài đường chéo, phát sinh từ việc rời rạc hóa của Laplace điều hành. Trên đường chéo chính của nó có - 6 và có 6 đường chéo khác với 1 trên đó.$A=(\Delta - K)$$\Delta$$-6$$6$$1$

là mộtma trận R n × n đầy đủ bao gồm hoàn toàn các ma trận.$K$$\mathbb{R}^{n \times n}$

Việc giải hoạt động tốt với các phương pháp lặp như Gauss-Seidel, vì đó là một ma trận chi phối theo đường chéo thưa thớt. Tôi nghi ngờ rằng vấn đề A = ( Δ - K ) gần như không thể giải quyết hiệu quả đối với số lượng lớn n , nhưng có mẹo nào để có thể giải quyết nó, khai thác cấu trúc của K không?$A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

EDIT: Sẽ làm một cái gì đó như

// giải quyết cho x k + 1 với Gauss-Seidel$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$$x^{k+1}$

hội tụ để giải đúng? Tôi đọc rằng đó là một tách Phương pháp hội tụ nếu , nơi ρ là tiêu chuẩn phổ. Tôi tự tính toán các giá trị riêng của Δ - 1 K cho một số giá trị nhỏ khác nhau của n và tất cả đều không ngoại trừ một trong đó có một giá trị âm khá cao. (khoảng ~ 500 cho n = 256 ) Vì vậy, tôi đoán rằng nó sẽ không hoạt động.$\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

EDIT: Thông tin thêm về $\Delta$ :

là đối xứng và là tiêu cực nhất định và theo đường chéo trội.$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$

Nó được tạo ra theo cách sau trong MATLAB

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• Sử dụng hệ thống giáp

Trong đó là một vectơ cột bao gồm tất cả các phần tử và giải hệ thống$\ee$

sử dụng một bộ giải lặp hoặc trực tiếp.

• Sử dụng phương pháp Krylov và áp dụng ma trận là (nghĩa là ma trận thưa thớt cộng với hiệu chỉnh cấp 1. Sử dụng bộ tiền xử lý hiện tại của bạn , hoặc , đặc biệt nếu bạn muốn sử dụng giải pháp trực tiếp với , hãy cập nhật nó với công thức Sherman-Morrison .Δ - e e T P - 1 ≈ Δ - 1$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$