Trong trường hợp ứng dụng nào là các sơ đồ tiền điều chỉnh phụ gia vượt trội so với các sơ đồ nhân?

Trong cả hai phương pháp phân rã miền (DD) và multigrid (MG), người ta có thể kết hợp ứng dụng của các bản cập nhật khối hoặc hiệu chỉnh thô như là cộng hoặc nhân . Đối với người giải quyết theo chiều, đây là sự khác biệt giữa các lần lặp Jacobi và Gauss-Seidel. Phép nhân mịn hơn cho đóng vai trò là S ( x o l d , b ) = x n e w được áp dụng như$Ax = b$$S(x^{old}, b) = x^{new}$

$x_{i+1} = S_n(S_{n-1}( ..., S_1(x_i, b) ..., b), b)$

và phụ gia mượt mà hơn được áp dụng như

$x_{i+1} = x_{i} + \displaystyle\sum_{\ell = 0}^{n}\lambda_\ell(S_\ell(x_i, b) - x_i)$

đối với một số giảm xóc . Sự đồng thuận chung dường như là các bộ làm mịn nhân có tính chất hội tụ nhanh hơn nhiều, nhưng tôi đã tự hỏi: trong tình huống nào thì hiệu suất của các biến thể cộng của các thuật toán này tốt hơn?$\lambda_i$

Cụ thể hơn, có ai có bất kỳ trường hợp sử dụng nào mà biến thể phụ gia nên và / hoặc thực hiện tốt hơn đáng kể so với biến thể nhân không? Có lý do lý thuyết cho việc này? Hầu hết các tài liệu về multigrid khá bi quan về phương pháp Phụ gia, nhưng nó được sử dụng rất nhiều trong bối cảnh DD là phụ gia Schwarz. Điều này cũng mở rộng đến vấn đề tổng quát hơn nhiều về việc soạn các bộ giải tuyến tính và phi tuyến, và loại công trình nào sẽ hoạt động tốt và hoạt động tốt song song.

Phương pháp phụ gia phơi bày đồng thời nhiều hơn. Chúng thường chỉ nhanh hơn các phương pháp nhân nếu bạn có thể sử dụng đồng thời đó. Ví dụ, mức độ đa lượng thô thường bị giới hạn độ trễ. Nếu bạn di chuyển các mức thô đến các mạng con nhỏ hơn, thì chúng có thể được giải quyết độc lập với các mức tốt hơn. Với sơ đồ nhân, tất cả các procs phải chờ trong khi các mức độ thô được giải quyết.

Ngoài ra, nếu thuật toán cần giảm ở mọi cấp độ, biến thể phụ gia có thể kết hợp chúng lại với nhau khi phương thức nhân được buộc phải thực hiện tuần tự.

Đối với các vấn đề SPD, các phương pháp phụ gia tốt hơn cho việc làm mịn MG vì một số lý do như đã đề cập và một vài lý do khác:

@Article{Adams-02, 
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.}, 
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel}, 
journal = {J. Comp. Phys.}, 
year = {2003}, 
volume = {188}, 
number = {2}, 
pages = {593-610} }

Tuy nhiên, các phương pháp nhân có các đặc tính quang phổ chính xác ngay lập tức cho MG mượt mà hơn, nghĩa là chúng không cần giảm xóc. Đây có thể là một chiến thắng lớn cho các vấn đề hyperbol trong đó làm mịn đa thức không được tốt lắm.

Tôi sẽ trình bày lại những gì @Jed đã nói: Phương pháp Nhân số luôn hội tụ ít nhất cũng như phương pháp Phụ gia (không có triệu chứng), vì vậy bạn chỉ giành chiến thắng dựa trên đồng thời, nhưng phụ thuộc vào kiến ​​trúc.