Có các phím tắt cho các hệ thống xấp xỉ bằng số của phương trình vi phân thông thường khi tự trị không?

Các thuật toán hiện có để giải quyết ODE xử lý các hàm , trong đóy∈Rn. Nhưng trong nhiều hệ vật lý, phương trình vi phân là tự trị, vì vậyd$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$,y∈Rn, vớittrái. Với giả định đơn giản hóa này, những cải tiến nào có thể được nhìn thấy trong các phương pháp số hiện có? Ví dụ: nếun=1, bài toán biến thànht=∫d$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$ và chúng tôi chuyển sang một loại thuật toán hoàn toàn khác để tích hợp các tích phân một chiều. Đối vớin>1, cải tiến tối đa có thể là giảm kích thước củayxuống 1, vì trường hợp phụ thuộc thời gian có thể được mô phỏng bằng cách nối thêmtvàoy, thay đổi miền củaytừRnthànhRn+1.$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$$t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

$y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$$\mathcal{U}$

$\partial_t y = A y$$A$$\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$

Đối với các hệ thống phi tuyến, điều đó không dễ dàng, nhưng tùy thuộc vào thuật toán, các đánh giá tốn kém nhất định có thể được sử dụng lại.