Làm thế nào để thuật toán QR được áp dụng cho một ma trận thực trả về các giá trị riêng phức tạp?

Tôi là một người không biết gì về thuật toán eigenvalues, nhưng có gì đó khiến tôi chú ý. Thuật toán QR hoạt động với ma trận thực / phức tạo ra các giá trị riêng thực / phức. Tuy nhiên, nó không thể tạo ra các giá trị riêng phức tạp từ một ma trận thực . Đây là một ví dụ đơn giản được viết bằng Julia và xuất phát từ đây và đây :

using LinearAlgebra
A = [7 3 4 11 -9 -2;
    -6 4 -5 7 1 12;
    -1 -9 2 2 9 1;
    -8 0 -1 5 0 8;
    -4 3 -5 7 2 10;
    6 1 4 -11 -7 -1]
M = copy(A)

for i=1:100
    global M
    Q,R = LinearAlgebra.qr(M);
    M=R*Q;
end

display(diag(M))
display(eigvals(A))

6-element Array{Float64,1}:
 -2.8415406888480472
  8.675063708533656
  3.658872985794657
  6.3411270142053695
  0.12201942568224483
  3.0444575546321087
6-element Array{Complex{Float64},1}:
  2.916761509842819 + 13.248032079355992im
  2.916761509842819 - 13.248032079355992im
  5.000000000000005 + 6.000000000000003im
  5.000000000000005 - 6.000000000000003im
 1.5832384901571723 + 1.4155521348117128im
 1.5832384901571723 - 1.4155521348117128im

Xác định ma trận A là phức tạp, chỉ có các thành phần thực, không có sự khác biệt.

Câu hỏi của tôi là:

• hiểu lầm khái niệm của tôi về chủ đề này là gì?
• Tôi đang làm sai bước nào?
• Và làm thế nào để khắc phục nó ?

Cảm ơn bạn

Tóm lại, thuật toán QR áp dụng cho một ma trận $A$ là một thủ tục lặp đi lặp lại rằng hội tụ đến Schur thực phân hủy: một ma trận unita $Q$ và một ma trận $R$ trong khối dạng trên hình tam giác (xem dưới đây) sao cho $A = QRQ^T$ . Nó sau đó các cột của $Q$ là vector riêng (đó là những đối tượng chủ yếu được tính!) Và $R$ có giá trị riêng giống như $A$ .

Điểm mấu chốt là dạng tam giác khối trên , có nghĩa là

• kích thước $1\times 1$ , trong trường hợp $R_{ii}$ là giá trị riêng (thực) của $A$ , hoặc
• kích thước $2\times 2$ , trong trường hợp $R_{ii}$ có một cặp giá trị riêng liên hợp phức tạp của $A$ (chẳng hạn như $2+i$ và $2-i$ ).

$2\times 2$$R$eigvals

$n\times n$$n$$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$\pm i$$R$$2\times 2$ các khối (ví dụ: bằng cách kiểm tra xem một phần tử phụ có lớn hơn dung sai không) và nếu vậy, tính toán giá trị riêng theo công thức.

eigenvalues$2\times 2$

using LinearAlgebra
A = [7 3 4 11 -9 -2;
    -6 4 -5 7 1 12;
    -1 -9 2 2 9 1;
    -8 0 -1 5 0 8;
    -4 3 -5 7 2 10;
    6 1 4 -11 -7 -1]
M = copy(A)

for i=1:100
    global M
    Q,R = LinearAlgebra.qr(M);
    M=R*Q;
end

eig = Complex{Float64}[]
let
    i=1
    N=size(M,1)
    while i<N   
        if abs(M[i+1,i])<1e-10             
            append!(eig,M[i,i])         
            i+=1         
        else             
            append!(eig,eigvals(M[i:i+1,i:i+1]))         
            i+=2         
        end                 
    end
    if length(eig)<N
       append!(eig,M[N:N,N:N])
    end                 
end       

Hãy quên thuật toán QR và nhớ giá trị bản địa là gì - chúng là gốc của đa thức đặc trưng cho ma trận (xem ví dụ https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomial ). Đối với một ma trận thực của đơn hàng N, đây là một đa thức của đơn hàng N với các hệ số thực. Nhưng hệ số thực không có nghĩa là rễ thực sự nhất thiết, bạn có thể có các cặp liên hợp phức tạp. Do đó, một ma trận thực nói chung có thể có giá trị riêng phức tạp.

Tôi đã sử dụng phương trình này nhiều lần để kiểm tra sự hội tụ. Số 11 ở hàng đầu tiên phải là -11. Chạy thuật toán QR mà không thay đổi, giống như ma trận, trong khoảng 60 lần lặp lại dẫn đến một ma trận với các giá trị riêng hiển thị gần như chính xác trên đường chéo, ngay cả những đường phức tạp. 5 + -6i nằm ở hai dòng đầu tiên, 4 và 3 ở hai dòng tiếp theo và cuối cùng là 1 + -21 ở khối dưới cùng bên phải. Đừng nghĩ rằng các giá trị phức tạp thường xuất hiện rõ ràng mà không cần tính toán giá trị ma trận 2x2.