Giải pháp lặp cho phương trình phi tuyến

8

Tôi xin lỗi trước nếu câu hỏi này là ngớ ngẩn. Tôi cần tính toán gốc của

u - f (u) = 0

$\begin{equation} u -f(u) =0 \end{equation}$

Trong đó là một vectơ thực và là một hàm có giá trị vectơ thực. Tôi đã bắt đầu với phương pháp của Newton (đã hoạt động), nhưng sau đó nhận ra một phương pháp đơn giản hơn nhiều sẽ là một giải pháp lặp $u$ $f(u)$

u_{i + 1} = f (u_{i})

$\begin{equation} u_{i+1} = f(u_{i}) \end{equation}$

Cách này nhanh hơn và rõ ràng là chính xác / ổn định như phương pháp của Newton.

Bây giờ các câu hỏi:

Đây có phải là phương pháp đúng hay tôi nên sử dụng một phương pháp khác?
Có điều gì có thể nói về tốc độ hội tụ, độ ổn định, acc, v.v. của nó không?
Là nó hội tụ toàn cầu?

Cảm ơn tất cả các bạn trước cho sự chú ý.

iterative-method nonlinear-equations roots

— Gabriel Landi
nguồn

3

Điều này được gọi là lặp lại điểm cố định. Tôi không rành về chủ đề này nhưng ít nhất nó sẽ cung cấp cho bạn một số từ mới để ném vào google. Nếu tôi nhớ chính xác, các điểm cố định sẽ xuất hiện cho nhiều loại chức năng với nhiều điểm bắt đầu khác nhau.

— Godric Seer

1

Của bạn là gì ? Phương pháp của Newton thường nhanh hơn lặp lại điểm cố định.

f (u)

$f(u)$

— Bill Barth

4

Sự hội tụ quan sát của bạn phụ thuộc rất nhiều vào dạng chức năng của . Hơn nữa, nếu , thì phép lặp là phép lặp Newton trên .

f (\cdot)

$f(\cdot)$

f (u) = u - (\nabla g)^{- 1} g (u)

$f(u) = u - (\nabla g)^{-1} g(u)$

u_{i + 1} = f (u_{i})

$u_{i+1} = f(u_i)$

g (u) = 0

$g(u) = 0$

— Jed Brown

7

Nếu , trong đó là giải pháp, phép lặp điểm cố định mà bạn nói đến là hội tụ tuyến tính cục bộ với tốc độ hội tụ . Do đó, nếu nhỏ hoặc bằng 0, phương thức này cạnh tranh với phương pháp của Newton. $q:=|f'(x^*)|<1$ $x^*$ $q$ $q$

Khác xa với giải pháp, sự hội tụ rất khó dự đoán trong trường hợp không có thông tin toàn cầu (chẳng hạn như hằng số Lipschitz , tạo ra sự co lại). $<1$

— Arnold Neumaier
nguồn

5

Fractal Feigenbaum là một ví dụ tốt về cách lặp lại điểm cố định kỳ lạ có thể là:

http://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum_fractal

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Logistic_Bifurcation_map_High_Resolution.png

Liên kết thứ hai biểu thị hành vi của phép lặp điểm cố định được áp dụng cho bản đồ logistic khi một trong các tham số thay đổi. Đối với các giá trị nhất định, nó hội tụ, mặc dù chỉ tuyến tính. Đối với các giá trị khác, nó hội tụ đến một chu kỳ có độ dài khác nhau. Đối với một lớp giá trị khác, nó hành xử hoàn toàn hỗn loạn.

Nói cách khác, hành vi của lần lặp fixpoint hoàn toàn phụ thuộc vào chức năng được đề cập. Ngay cả các chức năng trông tương tự có thể thể hiện hành vi hoàn toàn khác nhau.

Lưu ý : Như Jed chỉ ra, phép lặp Newton có thể kỳ lạ không kém .

— Geoffrey Irving
nguồn

Công bằng mà nói, nhiều fractals phổ biến là các bộ lặp Newton của Newton trên một phương trình đơn giản.

— Jed Brown

4

Các Banach cố định điểm lý mô tả tình hình tiêu chuẩn khi một lần lặp cố định điểm là hội tụ toàn cầu. Đặc biệt là phần duy nhất của định lý chỉ ra rằng bạn chỉ có thể mong đợi sự hội tụ cục bộ nếu giải pháp không phải là duy nhất.

Hầu hết các tình huống hội tụ cục bộ có thể được giải thích bằng định lý này, ít nhất là trên lý thuyết. Điều này thậm chí đúng với sự hội tụ xảy ra trong một số gãy xương được đề cập ở trên. Chỉ là định lý phải được áp dụng cho thay vì tại một số lưu vực thu hút. $f^n=f\circ \ldots\circ f$ $f$

— Thomas Klimpel
nguồn

2

Bạn có thể xem xét hữu ích tài liệu tham khảo này: Một Homotopy để giải quyết các vấn đề điểm cố định lớn, thưa thớt và có cấu trúc. R. Saigal. Toán học Nghiên cứu hoạt động, Tập. 8, số 4 (tháng 11 năm 1983), trang 557-578.

— Thợ săn nai
nguồn

1

Phương pháp này là chính xác và nó được gọi là "Thay thế liên tiếp". Xin vui lòng, xem trang 189 của tài liệu tham khảo này để biết chi tiết.

— Papiro
nguồn