Trong hoàn cảnh nào hội nhập Monte Carlo tốt hơn quasi-Monte Carlo?

Một câu hỏi đủ đơn giản: để thực hiện một tích phân đa chiều, với điều kiện là người ta đã quyết định rằng một phương pháp Monte Carlo nào đó là phù hợp, có bất kỳ lợi thế nào khi tích hợp MC thông thường sử dụng các số giả ngẫu nhiên có tích hợp gần đúng với Monte Carlo sử dụng một chuỗi gần đúng ? Nếu vậy, làm thế nào tôi nhận ra tình huống mà lợi thế này sẽ phát huy? (Và nếu không, tại sao mọi người lại sử dụng tích hợp Monte Carlo cũ?)

Mô phỏng Monte Carlo là phương pháp được lựa chọn để tính toán tán xạ electron. Thủ thuật như lấy mẫu quan trọng đôi khi được sử dụng, vì vậy bạn có thể nói rằng đó không phải là Monte Carlo cũ. Nhưng điểm chính có lẽ là một quy trình ngẫu nhiên vốn được mô phỏng ở đây, trong khi bạn chỉ hỏi về việc sử dụng Monte Carlo để tích hợp.

Bởi vì không ai khác cố gắng đưa ra câu trả lời, hãy để tôi cố gắng mở rộng câu trả lời của mình một chút. Giả sử chúng ta có một mô phỏng tán xạ electron, trong đó chỉ có một số duy nhất, như hệ số tán xạ ngược, được tính toán. Nếu chúng ta định dạng lại đây là một tích phân đa chiều, thì nó có thể là một tích phân vô hạn. Mặt khác, trong quá trình mô phỏng một quỹ đạo, chỉ cần một số hữu hạn các số ngẫu nhiên (con số này có thể trở nên khá lớn, nếu tính đến việc tạo ra electron thứ cấp). Nếu chúng ta sử dụng một chuỗi gần đúng như lấy mẫu siêu âm Latin, chúng ta sẽ phải sử dụng một xấp xỉ với một số kích thước cố định và tạo một số ngẫu nhiên cho mỗi chiều cho mỗi điểm mẫu.

Vì vậy, tôi nghĩ rằng sự khác biệt là liệu một loại hypercube đơn vị chiều cao nào được lấy mẫu, so với đám mây xác suất chiều vô hạn xung quanh gốc.

Một số nghiên cứu của tôi liên quan đến việc giải phương trình vi phân từng phần ngẫu nhiên quy mô lớn. Trong trường hợp đó, xấp xỉ monte carlo truyền thống của tích phân lãi suất hội tụ quá chậm để nó có giá trị theo nghĩa thực tế ... tức là tôi không muốn phải chạy mô phỏng nhiều hơn 100 lần chỉ để có được một dấu thập phân chính xác hơn đến tích phân. Thay vào đó, tôi có xu hướng sử dụng các phương pháp khác như lưới smolyak thưa thớt vì chúng cung cấp độ chính xác tốt hơn trong các đánh giá chức năng ít hơn. Điều này chỉ có thể bởi vì tôi có thể giả định một mức độ trơn tru nhất định trong chức năng.

Thật hợp lý khi phỏng đoán rằng nếu bạn mong đợi rằng hàm bạn đang tích hợp có cấu trúc nhất định (như độ mịn), tốt nhất nên sử dụng sơ đồ carlo quasi-monte khai thác nó. Nếu bạn thực sự không thể đưa ra rất nhiều giả định về chức năng, thì monte carlo là công cụ duy nhất tôi có thể nghĩ ra để xử lý nó.

Ưu điểm của tích hợp Monte-Carlo truyền thống so với tích hợp quasi-Monte Carlo được thảo luận trong bài báo của Kocis và Whiten tại đây . Họ liệt kê các lý do sau:

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  Thật không may, sự khác biệt về lý thuyết bị ràng buộc của các chuỗi hiện tại không thể sử dụng được cho các giá trị vừa và lớn của s. Tùy chọn khác, một đánh giá bằng số về sự khác biệt sao của một chuỗi trong các s lớn, đòi hỏi một nỗ lực tính toán quá mức và thậm chí các ước tính số hợp lý của các chênh lệch đó rất khó có được.

  Với tích hợp Monte-Carlo truyền thống, chúng tôi có thể chỉ định mục tiêu lỗi và chờ đợi vì lỗi bị ràng buộc dễ dàng tính toán. Với QMC, chúng tôi phải chỉ định một số đánh giá chức năng và hy vọng lỗi nằm trong mục tiêu của chúng tôi. (Lưu ý rằng có các kỹ thuật để khắc phục điều này, như quasi-Monte Carlo ngẫu nhiên, trong đó nhiều ước tính gần đúng Monte Carlo được sử dụng để ước tính lỗi.)

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• Để quasi-Monte Carlo đánh bại Monte-Carlo truyền thống, tích phân phải có "chiều hiệu quả thấp". Xem bài viết của Art Owen về chủ đề này tại đây .