Những ví dụ điển hình của hai là rất dễ, ba là khó trong các môn khoa học tính toán

Gần đây tôi đã gặp một công thức của hiện tượng meta : " hai là dễ, ba là khó " (theo cách này của Federico Poloni), có thể được mô tả, như sau:

Khi một vấn đề nhất định được hình thành cho hai thực thể, nó tương đối dễ giải quyết; tuy nhiên, một thuật toán cho công thức ba thực thể tăng độ khó rất lớn, thậm chí có thể khiến giải pháp không khả thi hoặc không thể đạt được.

_{(Tôi hoan nghênh các đề xuất để làm cho cụm từ đẹp hơn, súc tích và chính xác.)}

Những ví dụ tốt trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học tính toán (bắt đầu từ đại số tuyến tính thuần túy và kết thúc bằng một vật lý tính toán hạn sử dụng) bạn có biết không?

Một ví dụ xuất hiện trong nhiều lĩnh vực vật lý, và đặc biệt là cơ học cổ điển và vật lý lượng tử, là vấn đề hai cơ thể. Vấn đề hai cơ thể ở đây có nghĩa là nhiệm vụ tính toán động lực học của hai hạt tương tác, ví dụ, tương tác bởi lực hấp dẫn hoặc lực Coulomb. Giải pháp cho vấn đề này thường có thể được tìm thấy ở dạng kín bằng cách chuyển đổi biến thành trung tâm khối lượng và tọa độ tương đối.

Tuy nhiên, ngay khi bạn xem xét ba hạt, nói chung không có giải pháp dạng đóng nào tồn tại .

Một ví dụ nổi tiếng là vấn đề thỏa mãn boolean (SAT). 2-SAT không phức tạp để giải trong thời gian đa thức, nhưng 3-SAT là NP-đầy đủ.

Trong một và hai chiều, tất cả các con đường đều dẫn đến Rome, nhưng không phải trong ba chiều.

Cụ thể, được đi bộ ngẫu nhiên (có khả năng di chuyển theo bất kỳ hướng nào) trên các số nguyên theo một hoặc hai chiều, sau đó, bất kể điểm bắt đầu, với xác suất một (gần như chắc chắn), bước đi ngẫu nhiên cuối cùng sẽ được chỉ định cụ thể điểm ("Rome").

Tuy nhiên, đối với ba chiều trở lên, xác suất đến "Rome" là ít hơn một chiều; với xác suất giảm khi số lượng kích thước tăng.

Vì vậy, ví dụ, nếu thực hiện mô phỏng ngẫu nhiên (Monte Carlo) về một cuộc đi bộ ngẫu nhiên bắt đầu từ "Rome", sẽ dừng lại khi Rome được quay trở lại, sau đó trong một và hai chiều, bạn có thể yên tâm về việc cuối cùng trở lại Rome và dừng mô phỏng - thật dễ dàng. Trong ba chiều, bạn có thể không bao giờ làm cho nó trở lại, rất khó.

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk#Higher_dimensions

Để hình dung trường hợp hai chiều, người ta có thể tưởng tượng một người đi bộ ngẫu nhiên quanh một thành phố. Thành phố có hiệu quả vô hạn và được sắp xếp trong một mạng lưới vỉa hè. Tại mỗi ngã tư, người này chọn ngẫu nhiên một trong bốn tuyến đường có thể (bao gồm cả tuyến đường ban đầu đi từ đó). Chính thức, đây là một bước đi ngẫu nhiên trên tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng với tọa độ nguyên.

Người đó có bao giờ quay trở lại điểm xuất phát ban đầu của cuộc đi bộ không? Đây là tương đương 2 chiều của vấn đề vượt cấp đã thảo luận ở trên. Năm 1921, George Pólya đã chứng minh rằng người đó gần như chắc chắn sẽ đi bộ ngẫu nhiên 2 chiều, nhưng đối với 3 chiều trở lên, xác suất quay trở lại nguồn gốc giảm khi số lượng kích thước tăng lên. Trong 3 chiều, xác suất giảm xuống còn khoảng 34%

Xem http://mathworld.wolfram.com/PolyasRandomWalkConstants.html để biết các giá trị số.

Đây là một trong những trái tim của những người đóng góp tại SciComp.SE:

Các phương trình Navier-Stokes tồn tại và êm ái vấn đề

Phiên bản ba chiều tất nhiên là một vấn đề mở nổi tiếng và là chủ đề của Giải thưởng Mill Millium triệu đô. Nhưng phiên bản hai chiều đã được giải quyết từ lâu, với một câu trả lời khẳng định. Terry Tao lưu ý rằng giải pháp chủ yếu bắt nguồn từ luận án của Leray năm 1933!

Tại sao vấn đề ba chiều khó giải quyết hơn nhiều? Phản ứng lượn sóng tiêu chuẩn, bằng tay là nhiễu loạn trở nên không ổn định đáng kể trong ba chiều so với hai chiều. Để có câu trả lời chặt chẽ hơn về mặt toán học, hãy xem tuyên bố vấn đề chính thức của Charles Fefferman tại Viện Clay hoặc giải trình tốt đẹp của Terry Tao về các chiến lược chứng minh có thể .

Trong lý thuyết lựa chọn xã hội, thiết kế một kế hoạch bầu cử với hai ứng cử viên là dễ dàng (quy tắc đa số), nhưng thiết kế một kế hoạch bầu cử với ba hoặc nhiều ứng cử viên nhất thiết phải thực hiện sự đánh đổi giữa các điều kiện hợp lý khác nhau. ( Định lý bất khả thi của Mũi tên ).

Diagonalization đồng thời của hai ma trận $A_1$ và $A_2$ :

Tuy nhiên, khi giảm đồng thời ba ma trận thành dạng chính tắc (điều kiện yếu hơn so với ở trên) là bắt buộc:

Một ứng dụng thực tế sẽ là một giải pháp cho một vấn đề eigenvalue bậc hai:

Nguồn: CF van Loan, "Bài giảng 6: Phân rã giá trị số ít tổng quát bậc cao", Trường hè CIME-EMS, Cetraro, Ý, tháng 6/2015.

Có rất nhiều ví dụ trong điện toán lượng tử, mặc dù tôi đã ra khỏi điều này một thời gian và vì vậy đừng nhớ nhiều. Một vấn đề chính là sự vướng víu lưỡng cực (vướng víu giữa hai hệ thống) tương đối dễ dàng trong khi sự vướng mắc giữa ba hoặc nhiều hệ thống là một mớ hỗn độn chưa được giải quyết với hàng trăm bài báo viết về chủ đề này.

$\max\left(u_a v_b w_c T^{abc} / \left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert \left\lVert w \right\rVert \right)$

Bài viết này có vẻ phù hợp, mặc dù tôi chưa đọc nó: Hầu hết các vấn đề về tenor là NP-hard

Góc chia đôi với thước thẳng và la bàn là đơn giản, nói chung góc là không thể.

Gõ suy luận cho các loại Rank-n . Kiểu suy luận cho Hạng 2 không đặc biệt khó, nhưng suy luận kiểu cho Hạng 3 trở lên là không thể giải quyết được.

Đây là một cách gọn gàng từ tối ưu hóa: thuật toán Phương pháp nhân đa hướng (ADMM).

Cho hàm mục tiêu tách rời và lồi của hai biến (chính các biến đó có thể là vectơ) và ràng buộc tuyến tính khớp nối hai biến:

$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_1$$x_2, \lambda$$L_{\rho}(x_1, x_2, \lambda)$$x_2$$x_1, \lambda$$\lambda$. Chu kỳ này diễn ra cho đến khi đạt được tiêu chí dừng.

(Lưu ý: một số nhà nghiên cứu như Eckstein loại bỏ chế độ phân tách Gauss-Siedel để ủng hộ các nhà khai thác gần, ví dụ, hãy xem http://rutcor.rutgers.edu/pub/rrr/reports2012/32_2012.pdf )

Đối với các vấn đề lồi, thuật toán này đã được chứng minh là hội tụ - cho hai bộ biến. Đây không phải là trường hợp cho ba biến. Ví dụ: vấn đề tối ưu hóa

$f$$x_i$$\lambda$

https://web.stanford.edu/~yyye/ADMM-final.pdf

Gấp một mảnh giấy trong một nửa mà không có công cụ là dễ dàng. Gấp nó thành một phần ba là khó.

Bao một đa thức có hai gốc là dễ dàng. Bao một đa thức có ba gốc phức tạp hơn đáng kể.

Đường cong bậc 2 (nghĩa là giải pháp của $f(x,y) = 0$ Ở đâu $f$là một đa thức bậc 2) với một điểm đã cho là hợp lý , có nghĩa là nó có thể được tham số hóa bằng các chỉ số của đa thức, ở mức 3 thì không. Cái trước được coi là hiểu rõ, cái sau, được gọi là đường cong elliptic khi một điểm cơ bản, tức là một giải pháp cụ thể, được chỉ ra, là đối tượng của nghiên cứu mạnh mẽ.

Sự khác biệt này có một số hàm ý:

• Ở mức 2 có các thuật toán để tìm tất cả các điểm hợp lý (các giải pháp theo số hữu tỷ), ở mức 3 không có thuật toán nào như vậy được biết đến.
• Tích phân liên quan $\sqrt{f(x)}$ với $f$ độ 1 hoặc 2 có các giải pháp trong các chức năng cơ bản, nhưng không phải cho $f$ độ 3 trở lên.
• Vấn đề logarit rời rạc có thể dễ dàng xảy ra trên các đường cong bậc 2, do đó không phù hợp với các ứng dụng mật mã, trong khi độ cứng giả định của cùng một vấn đề trên các đường cong elliptic là cơ sở của một số hệ thống mật mã khóa công khai phổ biến nhất.

Các TREEchức năng.

Chúng ta có thể tính toán TREE(2) = 3, nhưng TREE(3)không thể tính được trong vòng đời vũ trụ, chúng ta chỉ biết rằng nó là hữu hạn.

Trong không gian hai chiều, bạn có thể giới thiệu cấu trúc phức tạp, có thể được sử dụng để giải quyết một cách tao nhã nhiều vấn đề (ví dụ như các vấn đề về dòng chảy tiềm năng ), nhưng không có sự tương tự nào tồn tại trong 3 chiều.

Trong vật lý nhiều lượng tử, chúng tôi nghiên cứu các mạng khác nhau của n spin trong khuôn khổ của các mô hình khác nhau (ví dụ mô hình Heisenberg, mô hình Bose-Hubbard, mô hình Ising, ...). Tất nhiên bạn có các phương pháp số khác nhau để nghiên cứu chúng (DMRG, đường chéo chính xác, mạng lưới thần kinh, ...) và một trong những lý do chúng tôi cố gắng phát triển các phương pháp khác nhau là vì bạn không thể giải quyết các mô hình này khi n trở nên quá "cao" và tất nhiên sẽ tệ hơn nếu bạn học ở những chiều cao hơn. Ví dụ, đối với Mô hình Ising, đường chéo chính xác hoạt động tốt trong 1d cho n không cao hơn 20. Vì vậy, đối với n cao hơn, bạn thử phương pháp khác: DMRG. Nhưng những cái sau này hoạt động tốt thực sự cho n cao hơn (như n = 70 nhưng không tốt cho n cao hơn). Một lần nữa, bạn muốn một phương pháp khác cho n mạng cao hơn: tức là trí tuệ nhân tạo). Và ngoài các mạng lưới thần kinh, bạn có thể nghiên cứu "dễ dàng hơn" (nghĩa là với các mô hình tương đối cao hơn n) các mô hình này ở các chiều cao hơn (nhưng đối với kích thước = 3 và n nhỏ, chẳng hạn, vẫn mất rất nhiều giờ (vài ngày) để có được trạng thái cơ bản hoặc có thể quan sát bạn muốn ...). Bref, khi n trở nên "quá cao" đối với các phương thức số của bạn (nhưng cũng là dung lượng của máy tính của bạn), bạn cần thực hiện các phương thức mới (và nếu bạn có thể, hãy sử dụng một siêu máy tính) và đó là vấn đề tương tự với kích thước của bạn hệ thống nhưng tất nhiên tệ hơn khi bạn bị kẹt nhanh chóng (kích thước = 4 rất khó lấy được trừ khi bạn chờ đợi nhiều thời gian ...). vẫn phải mất rất nhiều giờ (vài ngày) để có được trạng thái cơ bản hoặc có thể quan sát được bạn muốn ...). Bref, khi n trở nên "quá cao" đối với các phương thức số của bạn (nhưng cũng là dung lượng của máy tính của bạn), bạn cần thực hiện các phương thức mới (và nếu bạn có thể, hãy sử dụng một siêu máy tính) và đó là vấn đề tương tự với kích thước của bạn hệ thống nhưng tất nhiên tệ hơn khi bạn bị kẹt nhanh chóng (kích thước = 4 rất khó để có được trừ khi bạn chờ đợi nhiều thời gian ...). vẫn phải mất rất nhiều giờ (vài ngày) để có được trạng thái cơ bản hoặc có thể quan sát được bạn muốn ...). Bref, khi n trở nên "quá cao" đối với các phương thức số của bạn (nhưng cũng là dung lượng của máy tính của bạn), bạn cần thực hiện các phương thức mới (và nếu bạn có thể, hãy sử dụng một siêu máy tính) và đó là vấn đề tương tự với kích thước của bạn hệ thống nhưng tất nhiên tệ hơn khi bạn bị kẹt nhanh chóng (kích thước = 4 rất khó để có được trừ khi bạn chờ đợi nhiều thời gian ...).
Tất nhiên, ở đây, có nhiều thông tin bổ sung cho câu hỏi của bạn bởi vì thực tế, trong vật lý nhiều lượng tử, n = 3 không cao (nhưng nếu bạn lấy một mạng tinh thể là một hypercube, bạn không thể lấy n = 3 khóa học (vì điều kiện)).

Thế giới thực:

Tự động hóa% - ví dụ: Thật dễ dàng để tự động hóa một cái gì đó trong 30% hoặc 50% hoặc 80% trong khi đó rất khó để đi, ví dụ như trên 95% và cực kỳ khó khăn hoặc thậm chí gần như không thể đạt được 100%.