Làm thế nào để sửa đổi thứ hạng thấp ảnh hưởng đến sự hội tụ phương pháp Krylov?

Giả sử tôi có hệ thống tuyến tính , hội tụ nhanh chóng bằng phương pháp Krylov phù hợp (như CG hoặc GMRES) cho tất cả . Nếu là ma trận có thứ hạng thấp , liệu phương thức Krylov tương tự trên hệ thống cũng hội tụ nhanh chóng (lý tưởng với số lần lặp thêm phụ thuộc gần như chỉ phụ thuộc vào )?$A x = b$B r ( A + B ) x = b $b$$B$$r$$(A + B) x = b$$r$

Một ví dụ về một hệ thống như vậy sẽ là độ co giãn và uốn cong của màng tiền điều kiện cộng với các điều khoản áp suất không khí không phân đoạn với cấu trúc sản phẩm bên ngoài dày đặc.

Lưu ý rằng vấn đề là như nhau có hoặc không có chuẩn bị trước, vì là một cấp bậc r sửa đổi của P Một Q .$P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

Nếu không gian con Krylov của bạn dựa trên quyền hạn của , việc hội tụ sẽ bị trì hoãn bởi một số lần lặp nhiều nhất là thứ hạng của hiệu chỉnh. Nếu nó dựa trên quyền hạn của A T A thì nhiều nhất là gấp đôi con số này.$A$$A^TA$

Tôi chưa thấy một tuyên bố như vậy trong tài liệu. Nhưng để thấy tính hợp lệ trong trường hợp đầu tiên, đủ để chỉ ra rằng không gian Krylov thứ của ma trận A + U S V T trong đó U , V có các cột r được chứa trong không gian tương ứng mà không cần hiệu chỉnh thứ hạng thấp nhưng với một tương ứng chỉ số cao hơn k + r . Điều này là đơn giản để xác minh.$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$