Các triệu chứng của điều hòa không tốt khi sử dụng phương pháp trực tiếp là gì?

Giả sử chúng ta có một hệ thống tuyến tính và chúng ta không biết gì về điều hòa của nó và không có thông tin sơ bộ về giải pháp. Chúng tôi mù quáng áp dụng loại bỏ Gaussian và thu được một số giải pháp . Có thể xác định xem giải pháp này có đáng tin hay không (tức là hệ thống được điều hòa tốt) mà không cần phân tích sơ bộ kỹ lưỡng về ma trận ? Liệu độ lớn của pivots cung cấp thông tin đáng tin cậy? $x$

Và nói chung, các hướng dẫn chính để phát hiện điều hòa không khí "đang bay" là gì?

linear-solver condition-number conditioning

— faleichik
nguồn

Câu trả lời:

Khi nào một ma trận bị điều hòa ? Nó phụ thuộc vào độ chính xác của giải pháp mà bạn đang tìm kiếm, nhiều như "vẻ đẹp nằm trong mắt của kẻ si tình" ...

Có thể là câu hỏi của bạn nên được đánh giá lại tốt hơn vì có ước tính số điều kiện giá rẻ và mạnh mẽ dựa trên các yếu tố ? $LU$

Giả sử bạn quan tâm đến bài toán tổng quát thực sự (dày đặc, không đối xứng) trong số học chính xác kép, tôi sẽ đề nghị bạn sử dụng bộ giải chuyên gia LAPACK DGESVX , cung cấp ước tính điều kiện dưới dạng đối ứng của nó, . Là một phần thưởng, bạn cũng có các tính năng khác như cân bằng / cân bằng phương trình, sàng lọc lặp, giới hạn lỗi tiến và lùi. Nhân tiện, bệnh lý bệnh lý ( ) được báo hiệu là một lỗi bởi . $\text{RCOND}\approx 1/\kappa(A)$ $\kappa(A) > 1/\epsilon$ INFO>0

Đi sâu vào chi tiết hơn, LAPACK ước tính số điều kiện trong định mức 1 (hoặc -norm nếu bạn đang giải ) thông qua DGECON . Thuật toán cơ bản được mô tả trong bãi cỏ 36: "Các hình tam giác mạnh mẽ để sử dụng trong ước tính điều kiện" . $\infty$ $A^T x = b$

Tôi phải thú nhận rằng tôi không phải là một chuyên gia trong lĩnh vực này, nhưng triết lý của tôi là: "nếu nó đủ tốt cho LAPACK, thì nó là dành cho tôi".

— Stefano M
nguồn

Giải pháp của một hệ phương trình không điều hòa với ma trận định mức 1, bên phải ngẫu nhiên của định mức 1 sẽ có xác suất cao là một chỉ tiêu của thứ tự số điều kiện. Do đó, tính toán một vài giải pháp như vậy sẽ cho bạn biết những gì đang xảy ra.

— Arnold Neumaier
nguồn

Đây thực sự là những gì DGECON đang làm, với sự tinh tế được lặp đi lặp lại tinh chỉnh hướng tìm kiếm để tối đa hóa kết quả và sử dụng một bộ giải tam giác tùy chỉnh (không phải là BLAS) để không làm cho mọi thứ bị sai lệch bởi các lỗi gần đúng. Do đó, chi phí tính toán của DGECON tương đương với thử nghiệm đơn giản của bạn. +1 để ghi nhớ cho chúng tôi về ý nghĩa đơn giản của định mức ma trận và số điều kiện. Sẽ rất thú vị khi tìm hiểu xem DGECON có thực sự mạnh mẽ hơn khi kiểm tra ngẫu nhiên đơn giản.

— Stefano M

Có tính đến việc số điều kiện giải trùng với số điều kiện của máy tính có đủ để nhân ma trận tỷ lệ với các vectơ ngẫu nhiên đó thay vì giải thực sự không?

A x = b

$Ax=b$

A x

$Ax$

A x = b

$Ax=b$

— faleichik

@faleichik Chắc chắn là không: mẹo ở đây là chia tỷ lệ sao cho và. Tất nhiên, là đại số tuyến tính này, bạn không thực sự phải chia tỷ lệ mà chỉ cần ... tuy nhiên trước tiên bạn cần tính toán. Đối số ngược của bạn sẽ yêu cầu tính toán trướcmà những gì chúng tôi đang cố gắng để đánh giá.

A

$A$

‖ A ‖ = 1

$\| A \| = 1$

κ (A) = ‖ A ‖ \cdot ‖ A^{- 1} ‖ = ‖ A^{- 1} ‖

$\kappa(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \| = \| A^{-1} \|$

A

$A$

A x

$Ax$

‖ A ‖

$\| A \|$

‖ A^{- 1} ‖

$\| A^{-1} \|$

— Stefano M

Gần như không thể biết hệ thống của bạn có bị điều hòa chỉ từ một kết quả hay không. Trừ khi bạn có một số tầm nhìn xa về hành vi của hệ thống của bạn (tức là biết giải pháp NÊN là gì), bạn sẽ không thể nói gì nhiều từ một giải pháp duy nhất.

Nói xong, bạn có thể đạt được thêm thông tin nếu bạn giải quyết nhiều hơn một hệ thống với cùng . Giả sử bạn có một hệ thống có dạng . Đối với một A cụ thể mà bạn không có kiến thức trước về điều hòa của nó, bạn có thể thực hiện bài kiểm tra sau: $A$ $Ax=b$

Giải cho một vectơ bên phải cụ thể . $Ax=b$ $b$
Làm mờ vectơ bên phải của bạn bằng trong đólà rất nhỏ so với. $b_{new}=b+\mathbf{\varepsilon}$ $||\mathbf{\epsilon}||$ $||b||$
Giải quyết . $Ax_{new}=b_{new}$
Nếu hệ thống của bạn được điều hòa tốt, giải pháp mới của bạn sẽ khá gần với giải pháp cũ của bạn (tức là nên nhỏ). Nếu bạn quan sát thấy một sự thay đổi đáng kể đối với giải pháp mới của bạn (ví dụ là lớn), thì hệ thống của bạn có thể bị điều hòa. $||x-x_{new}||$ $||x-x_{new}||$

Bạn có thể cần phải giải quyết một số hệ thống tuyến tính với các vectơ bên phải khác nhau để cung cấp cho bạn một dấu hiệu tốt hơn về việc hệ thống có bị điều hòa không. Tất nhiên, quá trình này hơi tốn kém ( cho giải pháp đầu tiên và cho mỗi giải pháp kế tiếp, giả sử người giải trực tiếp của bạn lưu các yếu tố của nó). Nếu ma trận A của bạn khá nhỏ, đây không phải là vấn đề. Nếu nó lớn, bạn có thể không muốn làm điều này. Thay vào đó, bạn có thể tốt hơn khi tính toán số điều kiệntrong một định mức thuận tiện. $\Theta(n^3)$ $\Theta(n^2)$ $||A||\cdot||A^{-1}||$

— Paul
nguồn

Bạn khẳng định là cực kỳ xa sự thật. Ngay cả khi dày đặc, có thể được tính một lần với công việc và sau đó mỗi giải quyết chỉ yêu cầu làm việc.

Θ (k n^{3})

$\Theta(kn^3)$

A

$A$

A

$A$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Jack Poulson

@JackPoulson: Bạn hoàn toàn đúng ... Tôi đoán tôi hoàn toàn hiểu ra về nó. Đừng lo lắng :) Tôi sẽ cập nhật câu trả lời của mình

— Paul

Ai cũng có thể đánh giá phần dư của kết quả giải quyết? Vì quy mô nhưmột số gần như số ít có thể cung cấp một số dư có ý nghĩa ngay cả khi giải pháp của nó là rất xấu.

| | Một x - b | |

$||Ax - b ||$

| | Một | | \cdot | | x | |

$||A||\cdot||x||$

A

$A$

— Reid.Atcheson

@ Reid.Atcheson: Không thực sự. Các giải pháp gần đúng cho một hệ thống điều hòa không khí vẫn có thể tạo ra một lượng dư nhỏ. Điều này thực sự không cung cấp cho bạn bất kỳ dấu hiệu nào về việc nó cách xa giải pháp thực sự bao xa.

— Paul

‖ ε ‖

$\|\varepsilon\|$

‖ b ‖

$\|b\|$