PDE trong nhiều chiều

Tôi biết rằng hầu hết các phương pháp tìm giải pháp gần đúng cho PDE đều có tỷ lệ thấp với số lượng kích thước và Monte Carlo được sử dụng cho các tình huống yêu cầu ~ 100 kích thước.

Các phương pháp tốt để giải quyết PDE số hiệu quả trong ~ 4-10 chiều là gì? 10 - 100?

Có phương pháp nào ngoài Monte Carlo có quy mô tốt với số lượng kích thước không?

pde monte-carlo high-dimensional

— Dân
nguồn

Nó có thể giúp cung cấp thêm một chút thông tin về loại vấn đề bạn đang giải quyết. Hầu hết các PDE được xử lý trong khoa học tính toán có xu hướng nhiều nhất là bốn chiều (thời gian cộng với ba chiều không gian). Là các biến không gian hoặc biến thời gian, hoặc có các phụ thuộc khác mà bạn bao gồm?

— aeismail

Biến không gian. Trong cơ học lượng tử nếu bạn không muốn thực hiện các phép tính gần đúng mà bạn sử dụng trong lý thuyết hàm mật độ hoặc Hartree-Fock, hàm sóng là chiều, trong đó là số lượng điện tử. Vì vậy, ngay cả các nguyên tử và phân tử nhỏ cũng cần một số lượng lớn kích thước để xử lý chính xác.

3 n

$3n$

n

$n$

— Dan

Nó phụ thuộc rất nhiều vào thông tin bạn muốn biết về giải pháp. Hầu như không muốn biết mọi chi tiết về hàm sóng -electron. Vì vậy, người ta phải sử dụng kỹ thuật tính toán để cung cấp thông tin thực sự mong muốn.

n

$n$

— Arnold Neumaier

Vui lòng trích dẫn tài liệu tham khảo cho giải pháp Monte Carlo của phương trình Schroedinger điện tử theo 100 chiều.

— Arnold Neumaier

Tôi không có tài liệu tham khảo. Tôi chỉ nghe nói về mô phỏng trong đó nhiều kích thước được sử dụng cho QCD. Tôi chỉ tìm cách mô phỏng Schroedinger trong 4-5 chiều, nhưng tôi tự hỏi liệu có gì khác ngoài monte carlo có tỷ lệ tốt với số lượng kích thước không, và 100 có vẻ như là một số tròn lớn, đẹp để có tỷ lệ tiệm cận.

— Dan

Câu trả lời:

Một cách có cấu trúc hơn để cung cấp một cơ sở hoặc phương trình bậc hai (có thể thay thế MC trong nhiều trường hợp) theo nhiều chiều là các lưới thưa thớt , kết hợp một số họ của các quy tắc một chiều theo thứ tự khác nhau theo cách tăng trưởng theo cấp số nhân thứ nguyên, , thay vì có kích thước đó là số mũ của độ phân giải . $2^d$ $N^d$

Điều này được thực hiện thông qua cái được gọi là phương trình bậc hai Smolyak, kết hợp một loạt các quy tắc một chiều như $Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

Điều này tương đương với không gian bậc hai của sản phẩm tenor với các đơn đặt hàng hỗn hợp cao được loại bỏ khỏi không gian. Nếu điều này được thực hiện trong một thời trang đủ nghiêm trọng, sự phức tạp có thể được cải thiện rất nhiều. Tuy nhiên, để một người có thể làm điều này và duy trì xấp xỉ tốt, tính đều đặn của giải pháp phải có đủ các dẫn xuất hỗn hợp.

Các lưới thưa thớt đã bị nhóm Griebel đánh bại cho những thứ như phương trình Schrödinger trong không gian cấu hình và những thứ có chiều cao khác với kết quả khá tốt. Trong ứng dụng, các hàm cơ bản được sử dụng có thể khá chung chung, miễn là bạn có thể lồng chúng. Ví dụ, sóng phẳng hoặc cơ sở phân cấp là phổ biến.

Nó cũng khá đơn giản để tự viết mã. Từ kinh nghiệm của tôi, thực sự làm cho nó hoạt động cho những vấn đề này, tuy nhiên, là rất khó. Một hướng dẫn tốt tồn tại.

Đối với các vấn đề mà các giải pháp của chúng sống trong các không gian Sobolev chuyên biệt có các dẫn xuất bị chết nhanh chóng, phương pháp lưới thưa thớt có thể mang lại kết quả thậm chí còn lớn hơn .

Xem thêm bài đánh giá Acta Numerica, sự phân biệt độ căng thưa thớt của các PDE tham số và ngẫu nhiên chiều cao .

— Peter Brunei
nguồn

Có ví dụ nổi tiếng nào mà lưới thưa thớt không áp dụng?

— MRocklin

Bạn thực sự cần sự đều đặn để giữ. Ngoài ra, nếu bạn có cusps chiều cao khó chịu (như trong QM), bạn phải cẩn thận. Tôi nghe một số câu chuyện về bè lũ thưa thớt Lưới bắt đầu thừa nhận (với bằng chứng chẵn) rằng nó không phải là điều đó tốt hơn nhiều so Monte-Carlo, nhưng không thể tìm thấy một tài liệu tham khảo tốt.

— Peter Brunei

Chà, bài báo về lưới thưa thớt cho schroedinger mà bạn đề cập chỉ xử lý 2 electron. Có bao nhiêu electron thực sự có thể kéo theo phương pháp?

— Arnold Neumaier

Theo nguyên tắc chung, thật dễ hiểu tại sao các lưới thông thường không thể vượt quá các vấn đề 3 hoặc 4 chiều: trong các kích thước d, nếu bạn muốn có tối thiểu N điểm trên mỗi hướng phối hợp, bạn sẽ nhận được N ^ d điểm tổng thể. Ngay cả đối với các chức năng tương đối tốt trong 1d, bạn cần ít nhất N = 10 điểm lưới để giải quyết chúng, do đó, tổng số điểm sẽ là 10 ^ d - tức là ngay cả trên các máy tính lớn nhất bạn không thể vượt quá d = 9, và có lẽ sẽ không đi xa hơn bao giờ hết . Các lưới thưa thớt có thể giúp ích trong một số trường hợp nếu chức năng giải pháp có một số tính chất nhất định, nhưng nói chung, bạn sẽ phải sống với hậu quả của lời nguyền về chiều và đi theo phương pháp MCMC.

— Wolfgang Bangerth
nguồn

MCMC có nghĩa là gì?

— Dan

Chuỗi Markov Monte Carlo: en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

— Jack Poulson

$d=4,...,100$ $d=100,101,...\infty$

— Paul
nguồn

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

10^{7}

$10^7$

C^{k, α}

$C^{k,\alpha}$