Làm thế nào để áp dụng đúng các điều kiện biên Dirichlet không đồng nhất với FEM?

9

Nói chung, các điều kiện biên Dirichlet sẽ không được thỏa mãn chính xác cho FEM cho các điều kiện biên không đồng nhất. Các mã FEM mà tôi đã thấy đặt mức độ tự do để nội suy điều kiện biên Dirichlet nhưng tôi không tìm thấy bất kỳ biện minh toán học nào cho việc này. Đối với tôi, dường như việc thiết lập các điều kiện biên thiết yếu có thể sẽ giảm thiểu một số chức năng của lỗi (ví dụ: tối thiểu hóa trên phần ranh giới mà Dirichlet BC được áp dụng) mặc dù điều này sẽ tốn kém hơn về mặt tính toán. $||u -u_h||$

Có bất kỳ biện minh nào cho việc thiết lập BC như thế này không và nếu vậy, định mức phù hợp sẽ là gì?

pde finite-element boundary-conditions

— andybauer
nguồn

7

Có sự biện minh toán học cho việc đặt mức độ tự do ranh giới Dirichlet thành một giá trị. Tuy nhiên, bạn nên điều chỉnh hình thức thay đổi cho phù hợp. Nếu bạn đang xem xét một vấn đề chung, hãy nói:

Tìm như vậy $u\in\mathcal{U}$

$a(u,w)=l(w) \ \ \forall w\in\mathcal{V}$

Ở đâu

$\mathcal{U}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=g\text{ on }\Gamma_D\}$

$\mathcal{V}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=0\text{ on }\Gamma_D\}$

$u = v + g$ $v\in\mathcal{V}$ $g$

$a(v+g,w)=l(w)$

$a(.,.)$

$a(v,w)=l(w)-a(g,w)$

$-a(g,w)$

Tôi khuyên dùng Phương pháp phần tử hữu hạn: Phân tích phần tử hữu hạn tĩnh và động , bởi Tom Hughes. Ông có một cuộc thảo luận mở rộng về vấn đề này bắt đầu từ trang 8.

— Collier
nguồn

g

$g$

g (x) = x^{2}

$g(x) = x^2$

u = v + g^{h}

$u=v+g^h$

g^{h} \in U

$g^h \in \mathcal{U}$

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

g (x)

$g(x)$

L^{2}

$L^2$

Cảm ơn - Tôi đoán những gì tôi đã cố gắng nhận được trong câu hỏi kém chữ của tôi là liệu chúng ta nên làm (1) hay (2). (1) dường như là cách mà tôi đã thấy được thực hiện trong các mã FEM mà tôi đã xem nhưng (2) có vẻ như nó sẽ dẫn đến một xấp xỉ tốt hơn.

— andybauer

0

Để thêm vào câu trả lời tuyệt vời của Nathan với lý luận đa dạng, người ta thường cần các chi tiết thuật toán khi thực hiện các yếu tố hữu hạn. Ví dụ,

Tôi cũng có một lời giải thích chi tiết hơn về chủ đề trong ghi chú cá nhân của tôi . Vui lòng xem chương "Các hệ thống tuyến tính ràng buộc".

— osolmaz
nguồn