Tính gần đúng đạo hàm riêng của hàm số biến ngẫu nhiên

Để cho $X_t$ là một quá trình Ito

$$dX_t=a(X_t,t)dt + b(X_t,t)dW_t$$ Ở đâu $W_t$ là một quá trình Wiener.

Một phép tính gần đúng bằng số của giải pháp của phương trình này được đề xuất bởi Milstein:

$$X_T=X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\Delta W_t+ \frac{1}{2}b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \left( \Delta W_t^2 - \Delta t\right)$$

Ở đâu

$\Delta t = T-t$

$\Delta W_t = W_T-W_t$

Theo tài liệu, điều này có thể được chuyển đổi thành sơ đồ không có đạo hàm thông qua phép tính gần đúng (được gọi là sơ đồ mạnh thứ tự rõ ràng của Platen 1):

$$b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \approx \frac{b(X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\sqrt{\Delta t},t)-b(X_t,t)}{\sqrt{\Delta t}}$$

(Xem: 2001, Kloeden, "Tổng quan ngắn gọn về phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên" )

Bất cứ ai có thể giúp hiểu làm thế nào gần đúng của đạo hàm riêng này thu được?

Cảm ơn

Điều này được thảo luận Phần 11.1 của Kloeden và Platen, "Giải pháp số của phương trình vi phân ngẫu nhiên" . Có nó nói:

Sử dụng khai triển Taylor xác định, thật dễ dàng để chỉ ra rằng tỷ lệ

$$\frac{1}{\sqrt\Delta}\left\{b(\tau_n,Y_n + a\Delta + b\sqrt\Delta) - b(\tau_n,Y_n)\right\}$$ là một xấp xỉ khác biệt về phía trước cho $b\frac{\partial{b}}{\partial{x}}$ tại $(\tau_n,Y_n)$ nếu chúng ta bỏ bê các điều khoản cao hơn.

Một cách hay để hiểu điều này là "kích thước trung bình của bước quy trình Wiener $dW$" Là $\sqrt{\Delta t}$. Điều này là do phương sai là$\Delta t$. Vì vậy, nếu bạn nghĩ về quy mô thời gian cho bất cứ điều gì liên quan đến$b$ như $\sqrt{\Delta t}$ công thức sau

Tất nhiên, đó chỉ là sự thận trọng. Giải pháp số của phương trình vi phân ngẫu nhiên của Kloden và phương pháp xấp xỉ Taylor cho sự khác biệt một phần ngẫu nhiên làm điều này chặt chẽ hơn.