Phương pháp tích phân số của tích phân dao động khó

Tôi cần đánh giá số nguyên dưới đây:

trong đó , và . Ở đây là hàm Bessel biến đổi của loại thứ hai. Trong trường hợp cụ thể của tôi, tôi có , và .$E(r) = r^4 (\lambda\sqrt{\kappa^2+r^2})^{-\nu-5/2} K_{-\nu-5/2}(\lambda\sqrt{\kappa^2+r^2})$$x \in \mathbb{R}_+$$\lambda, \kappa, \nu >0$$K$$\lambda = 0.00313$$\kappa = 0.00825$$\nu = 0.33$

Tôi đang sử dụng MATLAB và tôi đã thử các hàm dựng sẵn integralvà quadgk, điều này mang lại cho tôi rất nhiều lỗi (xem bên dưới). Tôi cũng đã tự nhiên thử rất nhiều thứ khác, chẳng hạn như tích hợp bởi các bộ phận và tính tổng các tích phân từ đến .$kx\pi$$(k+1)x\pi$

Vì vậy, bạn có gợi ý nào về phương pháp nào tôi nên thử tiếp theo không?

CẬP NHẬT (thêm câu hỏi)
Tôi đọc bài báo @Pedro được liên kết đến và tôi không nghĩ nó quá khó hiểu. Tuy nhiên, tôi có một vài câu hỏi:

• Có thể sử dụng làm các yếu tố cơ bản , trong phương pháp Levin đơn biến được mô tả không?$x^k$$\psi_k$
• Thay vào đó tôi có thể sử dụng phương pháp Filon không, vì tần số dao động là cố định?

Mã ví dụ
>> integral(@(r) sin(x*r).*sqrt(E(r)),0,Inf)
Warning: Reached the limit on the maximum number of intervals in use. Approximate
bound on error is 1.6e+07. The integral may not exist, or it may be difficult to
approximate numerically to the requested accuracy.
> In funfun\private\integralCalc>iterateScalarValued at 372
In funfun\private\integralCalc>vadapt at 133
In funfun\private\integralCalc at 84
In integral at 89

ans =

3.3197e+06

Tôi đã viết bộ tích hợp của riêng mình, quadccứng dụng này tốt hơn đáng kể so với bộ tích hợp Matlab với các điểm kỳ dị và cung cấp ước tính lỗi đáng tin cậy hơn.

Để sử dụng nó cho vấn đề của bạn, tôi đã làm như sau:

>> lambda = 0.00313; kappa = 0.00825; nu = 0.33;
>> x = 10;
>> E = @(r) r.^4.*(lambda*sqrt(kappa^2 + r.^2)).^(-nu-5/2) .* besselk(-nu-5/2,lambda*sqrt(kappa^2 + r.^2));
>> sincp = @(x) cos(x)./x - sin(x)./x.^2;
>> f = @(r) sincp(x*r) .* r .* sqrt( E(r) );

Các chức năng fbây giờ là integrand của bạn. Lưu ý rằng tôi vừa gán bất kỳ giá trị cũ nào x.

Để tích hợp trên một miền vô hạn, tôi áp dụng thay thế các biến:

>> g = @(x) f ( tan ( pi / 2 * x ) ) .* ( 1 + tan ( pi * x / 2 ).^2 ) * pi / 2;

tức là tích hợp g0-1 nên được giống như tích hợp ftừ 0 đến . Các biến đổi khác nhau có thể tạo ra kết quả chất lượng khác nhau: Về mặt toán học, tất cả các biến đổi sẽ cho cùng một kết quả, nhưng các biến đổi khác nhau có thể tạo ra mượt mà hơn hoặc dễ dàng tích hợp hơn .$\infty$g

Sau đó, tôi gọi cho nhà tích hợp của riêng tôi quadcc, có thể xử lý các NaNs ở cả hai đầu:

>> [ int , err , npoints ] = quadcc( g , 0 , 1 , 1e-6 )
int =
  -1.9552e+06
err =
   1.6933e+07
npoints =
       20761

Lưu ý rằng ước tính lỗi là rất lớn, tức là quadcckhông có nhiều niềm tin vào kết quả. Tuy nhiên, nhìn vào hàm, điều này không có gì đáng ngạc nhiên vì nó dao động ở các giá trị ba bậc độ lớn trên tích phân thực. Một lần nữa, sử dụng một biến đổi khoảng khác nhau có thể tạo ra kết quả tốt hơn.

Bạn cũng có thể muốn xem xét các phương pháp cụ thể hơn như thế này . Nó liên quan nhiều hơn một chút, nhưng chắc chắn là phương pháp phù hợp cho loại vấn đề này.

Như Pedro chỉ ra, các phương pháp kiểu Levin là phương pháp được thiết lập tốt nhất cho các loại vấn đề này.

Bạn có quyền truy cập vào Mathicala? Đối với vấn đề này, Mathicala sẽ phát hiện và sử dụng chúng theo mặc định:

In[1]:= e[r_] := 
 r^4 (l Sqrt[k^2 + r^2])^(-v - 5/2) BesselK[-v - 5/2, l Sqrt[k^2 + r^2]]

In[2]:= {l, k, v} = {0.00313, 0.00825, 0.33};

In[3]:= Block[{x = 10}, 
 NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
  PrecisionGoal -> 3]]

Out[3]= -112494.

Đây là một âm mưu trong một loạt các giá trị của x:

In[4]:= ListLinePlot[
 Table[NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
   PrecisionGoal -> 3], {x, .5, 10, 0.1}]]

Bạn cũng có thể chỉ định thủ công phương pháp loại Levin cụ thể để áp dụng, trong trường hợp này có thể mang lại sự cải thiện hiệu suất nhẹ:

In[5]:= method = {"LevinRule", "Kernel" -> {Cos[r x], Sin[r x]}, 
   "DifferentialMatrix" -> {{0, -x}, {x, 0}}, 
   "Amplitude" -> {(
     3497.878840962873` Sqrt[(
      r^4 BesselK[-2.17`, 
        0.00313` Sqrt[
         0.00006806250000000001` + r^2]])/(0.00006806250000000001` + 
        r^2)^1.415`])/
     x, -((3497.878840962873` Sqrt[(
       r^4 BesselK[-2.17`, 
         0.00313` Sqrt[
          0.00006806250000000001` + r^2]])/(0.00006806250000000001` + 
         r^2)^1.415`])/(r x^2))}, "AdditiveTerm" -> 0};

In[6]:= Block[{x = 10}, 
 NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
  PrecisionGoal -> 3, Method -> method]]

Out[6]= -112495.

Xem tài liệu để biết chi tiết về các phương pháp loại Levin trong Mathicala .

Nếu bạn không có quyền truy cập vào Mathicala, bạn có thể viết phương pháp kiểu Levin (hoặc dao động chuyên dụng khác) trong Matlab như Pedro gợi ý.

Bạn có sử dụng thư viện chebfun cho Matlab không? Tôi mới biết nó chứa một triển khai phương pháp kiểu Levin cơ bản ở đây . Việc thực hiện được viết bởi Olver (một trong những chuyên gia trong lĩnh vực cầu phương dao động). Nó không giải quyết các điểm kỳ dị, phân khu thích ứng, v.v., nhưng nó có thể chỉ là những gì bạn cần để bắt đầu.

Việc chuyển đổi được đề xuất bởi Pedro là một ý tưởng tuyệt vời. Bạn đã thử chơi xung quanh với các tham số trong chức năng "quadgk" của Matlab chưa? Ví dụ: sử dụng phép biến đổi của Pedro, bạn có thể thực hiện như sau:
quadgk(f, 0.0+eps, 1.0-eps, 'AbsTol', eps, 'MaxIntervalCount', 100000)
Sử dụng phương pháp này mang lại cho tôi một giải pháp:
-2184689.50220729
và chỉ mất 0,8 giây (sử dụng các giá trị được đề cập ở trên: x = 10)
Walter Gander và Walter Gautschi có một bài viết về phương pháp thích nghi với Matlab mã bạn cũng có thể sử dụng (liên kết tại đây )