Có một thuật toán đa biến giải quyết các vấn đề Neumann và có tốc độ hội tụ độc lập với số lượng cấp độ không?

Các phương pháp multigrid thường giải quyết các vấn đề Dirichlet ở các cấp độ (ví dụ: điểm Jacobi hoặc Gauss-Seidel). Khi sử dụng các phương pháp phần tử hữu hạn liên tục, việc lắp ráp các vấn đề Neumann nhỏ sẽ tốn kém hơn nhiều so với lắp ráp các vấn đề Dirichlet nhỏ. Các phương thức phân rã miền không chồng lấn như BDDC (như FETI-DP) có thể được hiểu là các phương thức đa biến giải quyết các vấn đề Neumann "bị ghim" ở các cấp độ. Thật không may, số điều kiện cho thang đo BDDC đa cấp như

C {(1 + đăng nhập (\frac{H}{h}))}^{2 L}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

Trong đó là số cấp và là tỷ lệ thô. Ngược lại, số điều kiện cho các phương thức multigrid với bộ làm mịn dựa trên các vấn đề Dirichlet có số điều kiện độc lập với số cấp. $L$ $H/h$

Có cách nào để giải quyết vấn đề Neumann "bị chèn ép" mà không mất độc lập cấp độ không?

pde multigrid

— Jed Brown
nguồn

Lưu ý: đây là một câu hỏi nghiên cứu mở, được đăng ở đây như một thách thức bởi vì nó là mối quan tâm thực tế dường như bị bỏ qua bởi nhiều nhà phân tích làm việc trong lĩnh vực này.

— Jed Brown

Thật khó để nói chính xác những gì tương đương với khối "Pinned Neumann" mượt mà hơn trong bối cảnh đa sắc thái, ít nhất là nếu bạn mong đợi nó sẽ có vai trò tương tự như trong bối cảnh DD. Bạn có thể giải thích về bất kỳ loại mực nào bạn có thể có về những thứ này sẽ là gì không?

— Peter Brunei

Tôi không chắc điều này khác với BDDC như thế nào và nó không được phân tích kỹ lưỡng, nhưng điều này có vẻ thú vị khi tôi đọc nó trước đây:

Một bộ giải Poisson multigrid song song để mô phỏng chất lỏng trên lưới lớn

— celion
nguồn

Bài viết này sử dụng các phương pháp khác nhau hữu hạn, theo đó, việc xây dựng các vấn đề Dirichlet cục bộ là điều tự nhiên. Họ sử dụng một Jacobi ẩm ướt hơn (các vấn đề Dirichlet một điểm). Nó là bộ nhớ thấp (phổ biến cho lớp phương thức này) và sử dụng phép nội suy lưới so le (không điển hình). Nó có thể là một bài báo tốt (tôi đã không đọc nó một cách cẩn thận), nhưng nó không quan trọng đối với câu hỏi này.

— Jed Brown