Vai trò của điều kiện biên (ví dụ: định kỳ) trong phương trình Poisson

Với 3D Poisson phương trình và ở phía bên tay phải và tên miền, tôi giải phóng áp đặt bất kỳ điều kiện biên (BC) về chức năng φ , hoặc làm họ phải bằng cách nào đó phù hợp với phía bên tay phải? Cụ thể, nếu tôi áp đặt BC định kỳ, liệu sẽ có chính xác một giải pháp cho bất kỳ phía bên tay phải?

$$\nabla^2 \phi(x, y, z) = f(x, y, z)$$ $\phi$

Ví dụ: let: và tôi giải trên một hộp ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) . Bây giờ bất kỳ giải pháp phải là một tổng của φ 0 + φ 1 nơi:

$$f(x, y, z) = - 3 \pi^{2} \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}$$ $(0, 1)\times (0, 1) \times (0, 1)$$\phi_0+\phi_1$ Vì ∇ 2 φ 0 = f , và φ 1 là bất kỳchức năng điều hòa(ví dụ ∇ 2 φ 1 = 0 ). Chính xác? $$\phi_0(x, y, z) = \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}\,,$$ $\nabla^2\phi_0 = f$$\phi_1$$\nabla^2\phi_1 = 0$

Nếu tôi áp dụng Dirichlet BC bằng 0, thì là giải pháp duy nhất, vì nó thỏa mãn BC, thỏa mãn phương trình và giải pháp phải là duy nhất. Chính xác?$\phi_0$

Nếu tôi áp đặt BC định kỳ thì sao? Liệu nó có nghĩa là sẽ có một số chức năng điều hòa mà $\phi_1$ đáp ứng các BC định kỳ và giải quyết các phương trình? Đây là những gì φ 1 cách rõ ràng trong trường hợp này?$\phi_0+\phi_1$$\phi_1$

Từ góc độ số, có lẽ dễ dàng nhất để thảo luận trực tiếp về sự rời rạc.

Đối với phương trình Poisson với các điều kiện biên Dirichlet đồng nhất, có một giải pháp duy nhất cho bất kỳ phía bên tay phải. Sau khi rời rạc, phương trình có thể được viết dưới dạng , trong đó A là sự rời rạc tiêu chuẩn của toán tử Laplacian 3D với ranh giới Dirichlet và b là sự rời rạc tiêu chuẩn của f . Vì A là dứt khoát tích cực, nó không thể đảo ngược và hệ thống sẽ có một giải pháp duy nhất cho bất kỳ b , và do đó bất kỳ f .$Ax = b$$A$$b$$f$$A$$b$$f$

Tất nhiên, có những vấn đề thông thường với việc lấy mẫu; nếu hai giá trị khác nhau của tạo ra sự rời rạc giống nhau do sử dụng lưới thô hoặc do sự không liên tục trong f , có thể có một sự mơ hồ về hệ thống nào thực sự được giải quyết. Nhưng với điều kiện là sự rời rạc của f được xử lý tốt, một giải pháp độc đáo có ý nghĩa sẽ tồn tại.$f$$f$$f$

Tình hình phức tạp hơn một chút trong trường hợp điều kiện biên định kỳ vì sự rời rạc tiêu chuẩn của toán tử 3D Laplacian với ranh giới định kỳ là nửa cực dương và có nhân một chiều bao gồm các giải pháp có dạng x ≡ C với hằng số $K$$x \equiv C$$C$

Bởi vì vẫn còn đối xứng trong trường hợp định kỳ, chúng tôi có mà Phạm vi Một = K ⊥ , vv Một x = b sẽ không có một giải pháp trừ 1 ⋅ b = 0 , nơi 1 là vector bao gồm tất cả 1s. Điều này cung cấp điều kiện nhất quán cho phía bên tay phải ở dạng rời rạc.$A$$\operatorname{Range} A = K^\perp$$Ax = b$$\mathbf{1} \cdot b = 0$$\mathbf{1}$

Lưu ý rằng, về mặt phân tích, có một cách đơn giản hơn để xem xét nó. Nhớ lại rằng, đối với , nơi Ω là miền của chúng tôi, chúng tôi có ∫ Ω delta $\phi \in C^2(\Omega)$$\Omega$ Nếu chúng ta quy định một điều kiện biên định kỳ về φ , thì nhiệm kỳ ranh giới ở phía bên tay phải biến mất, và chúng tôi đang trái với ∫ Ohm delta

$$\int_\Omega \Delta \phi \, dx = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}}\, dS.$$ $\phi$ Vì vậy, nếu ϕ thỏa mãn Δ ϕ = f , ngay lập tức chúng ta phải có ∫ Ω $$\int_\Omega \Delta\phi\, dx = 0.$$ $\phi$$\Delta \phi = f$ Đây là analog phân tích để 1 ⋅ b = 0 , vì cả hai đều thể hiện một thực tế là giá trị trung bình của f , và do đó $$\int_\Omega f\, dx = 0.$$ $\mathbf{1} \cdot b = 0$$f$$b$ , trên tên miền phải bằng không.

$$\nabla^2\phi =f$$ $$f=(-ρ/εo)$$ Và, ρ (mật độ điện tích) được quy định tại tất cả các điểm lưới.

Tuyên bố: Đối với giải pháp định kỳ, điều kiện ∫ρdv = 0 (được mô tả bởi Ben ở trên) đặt hệ thống ở trạng thái trung tính ròng. Đây là một cách hay (vật lý) để suy nghĩ về giá trị trung bình của f trong hộp định kỳ.

Bây giờ hãy kiểm tra tuyên bố này. Đối với các điều kiện biên định kỳ, tích phân của điện trường phải bằng 0 trên bề mặt của hộp (bạn luôn có thể tìm thấy các cặp điểm trên bề mặt hộp triệt tiêu lẫn nhau trong tích phân).

$$\oint_S {E_n dA = \frac{1}{{\varepsilon _0 }}} Q_{inside} =0$$

Một chút vật lý ở đây, nhưng tôi nghĩ nó cung cấp một sự củng cố tốt đẹp cho cuộc thảo luận ở đây.

Cần phải cẩn thận đặc biệt trong việc tạo ra phương pháp tạo ra các giải pháp cho phương trình Poisson. Vì định nghĩa của thuật ngữ nguồn phải thỏa mãn dạng mạnh của PDE cũng như dạng yếu của PDE. Đạo hàm được đưa ra ở trên về cơ bản là sử dụng dạng yếu của PDE. Nói cách khác, có một mối quan hệ giữa độ dốc của giải pháp tại ranh giới và tích phân thuật ngữ nguồn trên miền.