Điều kiện tiên quyết và ảnh hưởng đến độ chính xác của giải pháp LSE

Trong các khóa học về phân tích số, tôi đã được dạy rằng động lực chính và chính cho các hệ phương trình tuyến tính tiền điều kiện là tăng tốc độ hội tụ của các bộ giải lặp cho LSE đó.

Nhưng, có ảnh hưởng gì đến độ chính xác của giải pháp tính toán không?

Tôi có thể nhớ một kết quả về độ chính xác của giải pháp tính toán loại bỏ Gaussian, có thể được tìm thấy trong Tính toán ma trận của Golub và Van Loan (trang 122). Số điều kiện (liên quan đến một số chỉ tiêu cụ thể) thực sự ảnh hưởng đến độ chính xác của giải pháp số được tính toán bằng thuật toán đó.

Người ta có thể mong đợi rằng một cái gì đó tương tự giữ cho các giải pháp thu được, ví dụ, Liên hợp các Lớp. Tôi nghĩ rằng tôi đã quan sát điều này trong một thí nghiệm tính toán. Khi tôi có phương pháp gradient Conjugate chạy trên một hệ thống không phân đoạn trong một thời gian (dài) cho đến khi một số tiêu chí dừng được đáp ứng, giải pháp tính toán vẫn hiển thị mức dư cao. Vì vậy, tôi tự hỏi liệu số điều kiện thấp hơn không chỉ dẫn đến thời gian chạy thấp hơn, mà còn dẫn đến số dư (hoặc lỗi) thấp hơn trong giải pháp tính toán. Lưu ý rằng đây nhất thiết phải là một câu hỏi về sự ổn định về số, đòi hỏi chúng ta phải làm việc trong các chuyên ngành không chính xác.

(Tôi đã hỏi cùng một câu hỏi về math.SE, nhưng tôi nghĩ rằng trang web này có thể phù hợp hơn.)

Độ chính xác của việc loại bỏ Gaussian không bị giới hạn về số lượng điều kiện. Có một ví dụ về ma trận được điều hòa tốt ở Trefethen và Bau (và có lẽ ở nơi khác) mà Gaussian Elimination không ổn định theo cấp số nhân đối với kích thước ma trận.

$A B x$$\kappa(A) \kappa(B)$$\kappa(A B)$

Dù sao, điều kiện tiên quyết làm hai điều:

1. Nó làm cho giải pháp được thể hiện tốt trong một số lượng nhỏ các vectơ xuất hiện sớm trong lần lặp.
2. Nó làm cho định mức trong đó chúng ta đánh giá sự tối ưu trên một không gian con gần với định mức của lỗi hơn là định mức của phần dư.

Tùy thuộc vào việc bạn muốn lỗi nhỏ hay dư là nhỏ.