Các nguyên tắc cơ bản đằng sau việc tạo ra một lưới di chuyển là gì?

Tôi quan tâm đến việc thực hiện một lưới di chuyển cho một vấn đề khuếch tán. Các phương pháp lưới di chuyển thích ứng đưa ra một ví dụ tốt về cách thực hiện điều này cho phương trình của Burgers trong 1D bằng cách sử dụng sai phân hữu hạn. Ai đó có thể đưa ra một ví dụ hiệu quả về việc giải phương trình khuếch tán tiến 1D bằng cách sử dụng sai phân hữu hạn với lưới di chuyển không?

Ví dụ, ở dạng bảo thủ, phương trình là

trong đó là vận tốc (một hàm của không gian). Các điều kiện ban đầu u ( 0 , x ) có thể chỉ định (ví dụ) một loài dòng chảy di chuyển từ trái sang phải (ví dụ dọc theo đường ống) trong đó điều kiện ban đầu có độ dốc sắc nét.$a(x)$$u(0,x)$

Làm thế nào để giải quyết vấn đề cân bằng cho lưới di chuyển (có thể với thuật toán của De Boor hoặc cách tiếp cận khác)? Tôi muốn tự thực hiện điều này trong Python để nếu câu trả lời của bạn có thể dễ dàng được dịch thành mã tốt hơn!

Câu hỏi cũ trước khi tiền thưởng

1. Các phương pháp cơ bản để tạo ra một lưới thích ứng dựa trên các thuộc tính của hệ thống là gì? Tôi có nên sử dụng từ thông làm thước đo nơi độ dốc lớn?
2. Bởi vì tôi tìm kiếm một giải pháp lặp (quét thời gian). Tôi tưởng tượng điều quan trọng là nội suy từ lưới cũ sang lưới mới, cách tiếp cận thông thường là gì?
3. Tôi sẽ thực sự thích thú khi thấy một ví dụ hoạt động cho một vấn đề đơn giản (như phương trình thăng tiến).

Một chút nền tảng về các chi tiết cụ thể của vấn đề. Tôi đang mô phỏng một hệ phương trình kết hợp 1D,

$\frac{\partial u}{\partial t} = a_u\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_u(x,u,v,w) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = a_v\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_v(x,u,v,w) \\ \frac{\partial w}{\partial t} = a_u\frac{\partial u}{\partial x} +a_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_w(x,u,v,w) \\ $

Tập hợp các phương trình mô tả một bài toán khuếch tán hai loài trong đó phương trình thứ ba kết hợp với hai phương trình kia. Giải pháp thay đổi nhanh chóng gần trung tâm lưới của tôi, xem bên dưới (đây là những minh họa không phải là tính toán),

Lưu ý rằng thang đo log trên biểu đồ thấp hơn, các giải pháp cho và v thay đổi theo thứ tự độ lớn. Trên biểu đồ trên ( w ) có một sự gián đoạn ở trung tâm. Tôi đang giải quyết hệ thống trên bằng một luồng gió thích ứng trong đó sự rời rạc có thể thích ứng từ trung tâm thành gió ngược chiếm ưu thế tùy thuộc vào giá trị cục bộ của số Péclet . Tôi đang giải quyết hệ thống một cách ngầm định với sự tích hợp hình thang trong thời gian ("Crank-Nicolson").$u$$v$$w$

Tôi quan tâm đến việc áp dụng một lưới thích ứng cho vấn đề này. Tôi nghĩ nó rất quan trọng vì nếu không các chi tiết của tham số đỉnh hình ( ) có thể bị mất. Không giống như câu hỏi này , tôi muốn áp dụng, một thuật toán hy vọng đơn giản để tạo lưới.$w$

Vì đây là một vấn đề khuếch tán, người ta có thể tưởng tượng ra sơ đồ lưới thích ứng dựa trên các thông lượng của và v tại các ranh giới của tế bào. Vì điều này sẽ chỉ ra nơi giá trị đang thay đổi nhanh chóng. Đỉnh của w cũng tương ứng với nơi từ thông là lớn nhất.$u$$v$$w$

Lưới thích ứng là một mạng lưới tự động phân cụm các điểm lưới trong các vùng có độ dốc trường dòng chảy cao; nó sử dụng giải pháp của các thuộc tính trường dòng chảy để xác định vị trí các điểm lưới trong mặt phẳng vật lý. Lưới thích ứng phát triển theo các bước thời gian kết hợp với giải pháp phụ thuộc thời gian của các phương trình trường dòng quản lý, tính toán các biến trường dòng chảy theo các bước của thời gian. Trong quá trình giải pháp, các điểm lưới trong mặt phẳng vật lý di chuyển theo kiểu như vậy để 'thích nghi' cho các vùng có độ dốc trường dòng chảy lớn. Do đó, các điểm lưới thực tế trong mặt phẳng vật lý liên tục chuyển động trong suốt quá trình giải pháp của trường dòng chảy và chỉ trở nên đứng yên khi giải pháp dòng chảy đạt đến trạng thái ổn định.

Thích ứng lưới được sử dụng cho cả hai loại vấn đề ổn định và không ổn định. Trong trường hợp các vấn đề dòng chảy ổn định, lưới được điều chỉnh sau khi số lần lặp được xác định trước và sự thích ứng lưới sẽ dừng tại điểm khi giải pháp được hội tụ. Trong trường hợp các giải pháp chính xác về thời gian, chuyển động và sàng lọc điểm lưới được thực hiện cùng với giải pháp chính xác về thời gian của vấn đề vật lý. Điều này đòi hỏi thời gian ghép chính xác các PDE của vấn đề vật lý và các mô tả chuyển động lưới hoặc thích ứng lưới.

Đối với các tính toán của các cấu hình mới hơn, việc phụ thuộc vào các hướng dẫn thực hành tốt nhất để tạo lưới và kinh nghiệm trước đó khiến cho cánh cửa mở ra một lượng lớn lỗi số. Các phương pháp thích ứng lưới có thể tạo ra những cải tiến đáng kể về chất lượng giải pháp và hứa hẹn kết quả tốt hơn vì không có giới hạn nào xác định giới hạn về độ phân giải lưới có thể đạt được.

$h$$r$$p$$rp$$hp$$r$$h$

$h$

$h$

$r$

Thay vì thực hiện các thay đổi tôpô cục bộ đối với lưới và khả năng kết nối của nó, các phương pháp thích ứng r thực hiện các thay đổi cục bộ đối với độ phân giải bằng cách di chuyển các vị trí của tổng số điểm lưới cố định.

$p$

Rất nhiều phương pháp thích ứng lưới phổ biến trong cách tiếp cận phần tử hữu hạn hơn là phương pháp phần tử hữu hạn hoặc phần tử hữu hạn. Nó làm giảm lỗi trong giải pháp bằng cách làm phong phú đa thức của các hàm nội suy với cùng thứ tự phần tử hình học. Không có lưới mới, hình học được tính toán và một ưu điểm khác của phương pháp này là nó có thể xấp xỉ tốt hơn các ranh giới không đều hoặc cong với độ nhạy thấp hơn tỷ lệ khung hình và độ nghiêng. Bởi vì điều này rất nổi tiếng trong ứng dụng cấu trúc.

$Driving-sources-of-grid-adaptation$

$1. Feature-based-adaptation$ Tính năng dựa trên cách tiếp cận được sử dụng chủ yếu của thích ứng lưới sử dụng tính năng của giải pháp làm động lực cho thích ứng lưới. Chúng thường sử dụng các tính năng của giải pháp như độ dốc của giải pháp và độ cong của giải pháp. Các vùng lưu lượng có độ dốc giải pháp lớn được giải quyết với nhiều điểm hơn và các vùng có ý nghĩa tối thiểu được tạo ra. Điều này dẫn đến việc tinh chỉnh vùng cụ thể về mặt vật lý như lớp ranh giới, chấn động, đường phân cách, điểm đình trệ, v.v. Trong một số trường hợp, tinh chỉnh dựa trên độ dốc thực sự có thể làm tăng lỗi giải pháp nên có một số vấn đề liên quan đến thích ứng dựa trên tính năng như sự mạnh mẽ và những người khác.

$2.Truncation-error-based-adaption$ Lỗi cắt là sự khác biệt giữa phương trình vi phân từng phần và phương trình rời rạc của nó. Lỗi cắt ngắn là cách tiếp cận phù hợp hơn để tìm nơi thích ứng nên xảy ra. Khái niệm chung đằng sau sự thích ứng dựa trên lỗi cắt ngắn là để phân phối lỗi trên miền mô phỏng để giảm tổng lỗi lỗi. Đối với các phương trình đơn giản, đánh giá sai số cắt là công việc dễ nhất nhưng đối với các sơ đồ phức tạp thì khó có cách tiếp cận khác nhau cho mục đích đó. Đối với các sơ đồ riêng biệt đơn giản, lỗi cắt ngắn có thể được tính trực tiếp. Đối với các sơ đồ phức tạp hơn, trong đó việc đánh giá trực tiếp cắt ngắn là khó khăn, một cách tiếp cận để ước tính lỗi cắt ngắn là cần thiết.

$3.Adjoint-based-adaptation$

Tất cả là tốt nhất!

$References:-$

[1] Fidkowski Krzysztof J. và Darmofal David L. Đánh giá về tính toán thời gian lỗi dựa trên đầu ra và thích ứng lưới trong động lực học tính toán. Tạp chí AIAA, 49: 673 Ném694, 2011.

[2] John Tannehill Richard Pletcher và Dale Anderson. Cơ học tính toán và truyền nhiệt. Taylor & Francis, 1997.

[3] JD Jr. Anderson. Tính toán fl uid dyanamic: Những điều cơ bản với các ứng dụng.McGraw Hill Inc., 1995.

[4] Roy Christopher J. Các chiến lược để điều chỉnh lưới thích ứng trong cfd. Trong cuộc họp khoa học hàng không vũ trụ AIAA lần thứ 47 bao gồm Diễn đàn chân trời mới và vị trí hàng không vũ trụ, 2009.

[5] Các thuật toán và vấn đề thích ứng lưới của McRae Scott D. r-re. Các phương pháp tính toán trong cơ học và kỹ thuật ứng dụng, 189: 1161 lồng1182, 2000.

[6] Ivanenko Serge A. Azarenok Boris N. và Tang Tao. Phương pháp phân phối lại lưới thích ứng dựa trên sơ đồ godunovs. Thông tin môn Toán. sci., 1: 152 Hàng179.

[7] Ahmadi Majid và Ghaly Wahid S. Mô phỏng sự bất khả xâm phạm trong các tầng bằng cách sử dụng phương pháp thể tích đặc biệt với sự thích nghi của giải pháp. Trong Triệu chứng Khí động lực học thứ 6 của CASI, 1997.

[8] Điều khiển độ phân giải tự động Jasak H. và Gosman AD cho nite-volum e m ethod, phần 1: ước tính lỗi a-posteriori. Truyền nhiệt số, Taylor & Francis, 38: 237 Từ256, 2000.

[9] Điều khiển độ phân giải tự động của Jasak H. và Gosman AD cho nite-volum em ethod, phần 2: Cấu trúc lại lưới thích ứng và thô. Truyền nhiệt số, Taylor & Francis, 38: 257 Từ271, 2000.

[10] Thompson David S. Soni Bharat K., Koomullil Roy và Thornburg Hugh. Giải pháp chiến lược lưới thích ứng dựa trên phân phối lại điểm. Các phương pháp tính toán trong cơ học và kỹ thuật ứng dụng, 189: 1183 19202020, 2000.

[11] Venditti David A. và Darmofal David L. Điều chỉnh ước tính lỗi và điều chỉnh lưới cho các đầu ra chức năng: Áp dụng cho một phần một chiều. Tạp chí Vật lý tính toán, 164: 204 Công 227, 2000.

[12] Balasubramanian R. và Newman JC So sánh điều chỉnh lưới dựa trên tính năng và dựa trên tính năng cho các đầu ra chức năng. Tạp chí quốc tế về phương pháp số trong fl uids, 53: 1541 19151569, 2007.

[13] Hartmann Ralf. Ước tính lỗi và thích ứng dựa trên sự điều chỉnh trong khí động học. Trong hội nghị châu Âu về động lực học chất lỏng tính toán, 2006.

Tôi đã (vẫn đang) tìm kiếm câu trả lời tốt cho việc này. Tôi làm việc với các lưới thích ứng đa cấp trong đó tôi sử dụng một số tiêu chí để sàng lọc. Mọi người làm FEM được hưởng, khá rẻ (tính toán), ước tính lỗi nghiêm ngặt mà họ sử dụng làm tiêu chí sàng lọc. Đối với chúng tôi thực hiện FDM / FVM, tôi đã không may mắn tìm thấy bất kỳ ước tính nào như vậy.

Trong bối cảnh này, nếu bạn muốn nghiêm ngặt về sàng lọc, tức là tinh chỉnh dựa trên một số ước tính của lỗi thực tế, sự lựa chọn duy nhất (gần như) của bạn là Phép ngoại suy của Richardson. Ví dụ, đây là những gì đã được Berger và Oliger (1984) sử dụng cho bộ giải hyperbolic có cấu trúc khối của chúng. Phương pháp này nói chung theo nghĩa là bạn có thể sử dụng Phép ngoại suy của Richardson cho hầu hết mọi vấn đề. Vấn đề duy nhất với nó là nó đắt tiền, đặc biệt là đối với các vấn đề thoáng qua.

Khác với phép ngoại suy của Richardson, tất cả các tiêu chí khác (theo ý kiến ​​khiêm tốn của tôi) chỉ là quảng cáo. Có, bạn có thể đặt một ngưỡng nhất định cho "số lượng quan tâm" và tinh chỉnh dựa trên đó. Bạn có thể sử dụng thông lượng hoặc dẫn xuất của một số lượng để cảnh báo một số gradient lớn và sử dụng thông số đó. Hoặc nếu bạn đang theo dõi một giao diện, bạn có thể tinh chỉnh dựa trên mức độ gần gũi với giao diện. Tất cả những thứ này đều rất rẻ, tất nhiên, nhưng không có gì khắt khe về chúng.

Đối với phép nội suy giữa các lưới, bạn thường cần một cái gì đó ít nhất là chính xác như bạn giải. Đôi khi có thể xây dựng các phép nội suy thỏa mãn một số tính chất nhất định, ví dụ bảo tồn khối lượng hoặc là lồi do đó không đưa ra cực trị mới. Tôi đã lưu ý rằng tài sản cuối cùng này đôi khi rất quan trọng đối với sự ổn định của sơ đồ tổng thể.

Nếu nó thực sự là 1D thì có lẽ bạn sẽ không cần bất kỳ lưới thích ứng nào ở đây, đối với một vấn đề đơn giản như vậy, bạn có thể giải quyết tất cả những gì bạn cần với lưới tĩnh, với khả năng tính toán của máy trạm hiện đại. Nhưng đó là một chiến lược hoàn toàn hợp lý, trong quá trình tích hợp thời gian, để xác định các khu vực định kỳ mà độ phân giải số được nhấn mạnh, thêm các điểm lưới ở đó (và loại bỏ các điểm lưới khỏi các khu vực được giải quyết quá mức) và nội suy vào lưới mới. Nhưng điều này không nên được thực hiện quá thường xuyên vì phép nội suy có thể tốn kém và nó sẽ thêm lỗi số trong tính toán tổng thể.