Làm thế nào nên áp dụng điều kiện biên khi sử dụng phương pháp thể tích hữu hạn?

Theo câu hỏi trước đây của tôi, tôi đang cố gắng áp dụng các điều kiện biên cho lưới thể tích hữu hạn không đồng nhất này,

Tôi muốn áp dụng điều kiện biên loại Robin cho các lhs của miền ( $x=x_L)$ , sao cho

$$\sigma_L = \left( d u_x + a u \right) \bigg|_{x=x_L}$$

Trong đó là giá trị biên; a , d là các hệ số được xác định trên ranh giới, tiến và khuếch tán tương ứng; u x = ∂ $\sigma_L$$a, d$ , là đạo hàm củau đượcđánh giá tại biên vàulà biến mà chúng ta đang giải.$u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$$u$$u$

Cách tiếp cận có thể

Tôi có thể nghĩ ra hai cách để thực hiện điều kiện biên này trên lưới thể tích hữu hạn ở trên:

1. Một cách tiếp cận tế bào ma.

   Viết là một sự khác biệt hữu hạn bao gồm một ô ma. σ L = d u 1 - u $u_x$

   $$\sigma_L = d \frac{u_1 - u_0}{h_{-}} + a u(x_L)$$

   A. Sau đó sử dụng phép nội suy tuyến tính với các điểm và x 1 để tìm giá trị trung gian, u ( x L ) .$x_0$$x_1$$u(x_L)$

   B. Hoặc tìm bằng cách lấy trung bình trên các ô, u ( x L ) = $u(x_L)$$u(x_L) = \frac{1}{2}(u_0 + u_1)$

   Trong cả hai trường hợp, sự phụ thuộc vào tế bào ma có thể được loại bỏ theo cách thông thường (thông qua thay thế vào phương trình thể tích hữu hạn).

2. Một cách tiếp cận ngoại suy.

   Ghép một hàm tuyến tính (hoặc bậc hai) với bằng cách sử dụng các giá trị tại các điểm x 1 , x 2 ( x 3 ). Điều này sẽ cung cấp giá trị tại u ( x L ) . Hàm tuyến tính (hoặc bậc hai) sau đó có thể được phân biệt để tìm biểu thức cho giá trị của đạo hàm, $u(x)$$x_1, x_2$$x_3$$u(x_L)$ , tại biên. Cách tiếp cận nàykhôngsử dụng một tế bào ma.$u_x(x_L)$

Câu hỏi

• Cách tiếp cận nào trong ba, (1A, 1B hoặc 2) là "tiêu chuẩn" hoặc bạn muốn giới thiệu?
• Phương pháp nào giới thiệu sai số nhỏ nhất hoặc ổn định nhất?
• Tôi nghĩ rằng tôi có thể tự thực hiện phương pháp tiếp cận tế bào ma, tuy nhiên, làm thế nào phương pháp ngoại suy có thể được thực hiện, phương pháp này có tên không?
• Có sự khác biệt về độ ổn định giữa việc khớp hàm tuyến tính hay phương trình bậc hai không?

Phương trình cụ thể

Tôi muốn áp dụng ranh giới này cho phương trình khuếch tán (ở dạng bảo tồn) với thuật ngữ nguồn phi tuyến tính,

$$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$$

Phân biệt phương trình này trên lưới trên bằng cách sử dụng -method,$\theta$

$$w_{j}^{n+1} - \theta r_a w_{j-1}^{n+1} - \theta r_b w_{j}^{n+1} - \theta r_c w_{j+1}^{n+1} = w_j^n + (1-\theta) r_a w_{j-1}^n + (1-\theta) r_b w_j^n + (1-\theta) r_c w_{j+1}^n + s(x_j,t_n)$$

Tuy nhiên, đối với điểm biên ( ) tôi thích sử dụng sơ đồ hoàn toàn ẩn ( θ = 1 ) để giảm độ phức tạp,$j=1$$\theta=1$

$$w_{1}^{n+1} - r_a w_{0}^{n+1} - r_b w_{1}^{n+1} - r_c w_{2}^{n+1} = w_1^n + s_1^n$$

Lưu ý điểm ma , điều này sẽ được loại bỏ bằng cách áp dụng điều kiện biên.$w_0^{n+1}$

Các hệ số có định nghĩa,

$$r_a = \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{ah_j}{2h_{-}} + \frac{d}{h_{-}} \right)$$

$$r_b = - \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{a}{2}\left[ \frac{h_{j-1}}{h_{-}} - \frac{h_{j+1}}{h_{+}} \right] + d\left[-\frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}} \right]\right)$$

$$r_c = \frac{\Delta t}{h_j}\left(- \frac{ah_j}{2h_{+}} + \frac{d}{h_{+}} \right)$$

Tất cả các biến " " được định nghĩa như trong sơ đồ trên. Cuối cùng, $h$ là bước thời gian (NBđây là mộtđơn giảntrường hợp với hằng số một và d hệ số, trong thực tế các " r " hệ số là hơi phức tạp hơn vì lý do này).$\Delta t$$a$$d$$r$

Đây là một nhận xét chung về FVM hơn là một câu trả lời cho các câu hỏi cụ thể. Và tin nhắn là không nên có sự phân biệt đối xử như vậy đối với các điều kiện biên.

Không giống như trong các phương thức FE hoặc FD, trong đó điểm bắt đầu là một ansatz riêng cho giải pháp, cách tiếp cận FVM để lại giải pháp không bị ảnh hưởng (lúc đầu) nhưng trung bình trên một phân đoạn của miền. Sự rời rạc của giải pháp chỉ phát huy tác dụng khi hệ thống phương trình cân bằng thu được được chuyển thành hệ phương trình đại số bằng cách xấp xỉ các từ thông trên các giao diện.

Theo nghĩa này, theo quan điểm của các điều kiện biên, tôi khuyên nên bám vào dạng liên tục của giải pháp càng lâu càng tốt và chỉ đưa ra các xấp xỉ rời rạc ở cuối.

Nói, phương trình giữ trên toàn bộ miền. Sau đó, nó giữ tên miền phụ [ 0 , h 1 ) và tích hợp trong không gian cho ∫ h 1

$$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$$ $[0,h_1)$ $$\begin{align} \int_0^{h_1}u_t \text{d}x &=& \int_0^{h_1} \partial_x(-au + du_{x})\text{d}x &+& \int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x \\ &=& (-au + du_{x})|_{x=h_1}-(-au + du_{x})|_{x=0}&+&\int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x, \end{align}$$ $u$ .

$C_i$$u$$u(t,x)|_{C_i} = u_i(t)$$u(x_i)\approx u_i$$u_x|_{h_i}$$u_{i}$$u_{i+1}$$u$

$(-au + du_{x})|_{x=0}$$u$

• $u|_{x=0}=g_D$$u_0$$u_1$$g_D$

• ${u_x|}_{x=0} = g_N$$u_0$$u_1$$g_N$

• $(-a u + du_x )|_{x=0}= g_R$ , không cần phải phân biệt.

Tuy nhiên, tôi không chắc chắn, phải làm gì trong trường hợp có loại bc của Robin không khớp trực tiếp với thông lượng. Điều này, sẽ cần một số chính quy vì sự gián đoạn của các tham số khuếch tán và khuếch tán.

---

===> Một số suy nghĩ cá nhân về FVM <===

• FVM không phải là một FDM được chia tỷ lệ, vì các ví dụ về phương trình PoD của 1D trên lưới thông thường thường đề xuất
• Không nên có một lưới trong FVM, nên có các ô có giao diện và, nếu cần, các trung tâm
• Đó là lý do tại sao tôi nghĩ rằng một công thức stprint của sự rời rạc là không phù hợp
• Việc lắp ráp hệ phương trình nên được thực hiện theo cách tiếp cận riêng biệt, tức là bằng cách lặp qua các ô thay vì xác định một phương trình cho mọi ẩn số. Ý tôi là nghĩ về$i$- hàng thứ nhất của ma trận hệ số là một phần của vấn đề đặt ra trên ô $\Omega_i$, thay vì phương trình được liên kết với $u_i$.
• Điều này đặc biệt quan trọng đối với các sự cố 2D hoặc 3D nhưng cũng có thể giúp có một ký hiệu rõ ràng trong 1D: Tạo sự khác biệt giữa âm lượng (trong 1D: chiều dài) của ô, tại đây $h_i$và khoảng cách giữa các trung tâm, có thể trong 1D: $d_i:=d_{i,i+1}=|x_i-x_{i+1}|$.

---