Sự khác biệt giữa Parareal, PITA và PFASST là gì?

Các thuật toán Parareal, PITA và PFASST đều là các kỹ thuật trên toàn miền để song song hóa giải pháp cho các vấn đề phụ thuộc thời gian theo thời gian.

1. Các nguyên tắc hướng dẫn đằng sau các phương pháp này là gì?

2. Sự khác biệt chính giữa chúng là gì?

3. Tôi có thể nói rằng cái này dựa trên cái khác không? Làm sao?

4. Những gì về ứng dụng của họ?

Tôi biết sẽ không có câu trả lời cho câu hỏi "cái nào tốt hơn?", Nhưng một sự hiểu biết tốt về các lĩnh vực ứng dụng và điều kiện xác nhận của chúng là hữu ích đối với tôi.

$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

$t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$$F$

$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

Phương pháp PITA rất giống với Parareal, nhưng nó theo dõi các bản cập nhật trước đó và chỉ cập nhật điều kiện ban đầu trên mỗi bộ xử lý theo cách gợi nhớ đến các phương thức không gian con Krylov. Điều này cho phép PITA giải các phương trình bậc hai tuyến tính mà Parareal không thể.

Phương pháp PFASST khác với phương pháp Parareal và PITA theo hai cách cơ bản: thứ nhất, nó dựa vào sơ đồ bước thời gian trì hoãn quang phổ lặp lại (SDC), và thứ hai nó kết hợp các hiệu chỉnh lược đồ xấp xỉ đầy đủ cho máy phát thô. có thể sử dụng một hệ thống phân cấp của người tuyên truyền (thay vì chỉ hai). Sử dụng SDC cho phép các phép lặp song song thời gian và SDC được lai ghép, giúp thư giãn các hạn chế hiệu quả của Parareal và PITA. Sử dụng hiệu chỉnh FAS cho phép rất linh hoạt khi xây dựng các bộ truyền thô của PFASST (làm cho các bộ truyền thô càng rẻ càng tốt giúp tăng hiệu quả song song). Các chiến lược thô bao gồm: coarsen thời gian (ít nút SDC hơn), coarsen không gian (đối với PDE dựa trên lưới), toán tử thô và giảm vật lý.

Tôi hy vọng điều này phác thảo các nguyên tắc cơ bản, khác biệt và tương đồng giữa các thuật toán. Xin vui lòng xem các tài liệu tham khảo trong bài viết này để biết thêm chi tiết.

Về các ứng dụng, các phương pháp đã được áp dụng cho rất nhiều phương trình (quỹ đạo hành tinh, Navier-Stokes, hệ thống hạt, hệ hỗn loạn, động lực học cấu trúc, dòng chảy khí quyển, v.v.). Khi áp dụng song song thời gian cho một vấn đề nhất định, bạn chắc chắn nên xác nhận phương pháp theo cách phù hợp với vấn đề đang được giải quyết.