Làm thế nào để xây dựng một toán tử kéo dài và hạn chế cho một bộ giải đa đại số?

Tôi đang cố gắng giải một hệ phương trình tuyến tính thưa thớt, nhưng thiếu bất kỳ loại cấu trúc dải nào. Tôi đã nghe nói rằng có một cách để mở rộng các nguyên tắc của một bộ giải đa lượng đối với các sơ đồ sai phân hữu hạn tiềm ẩn cho một vấn đề tuyến tính chung (nếu tôi không nhầm, nó được gọi là bộ giải đa đại số). Sau khi đọc một số tài liệu về nó, tôi vẫn rất bối rối về cách nội suy (nghĩa là kéo dài và hạn chế) giữa các lưới thô và mịn mà không khai thác cấu trúc đẹp của các ma trận dải như các sơ đồ khác nhau. Có một số heuristic với nó? Bất cứ ai có thể đưa ra một ví dụ?

Đầu tiên, nếu bạn có lưới có cấu trúc, bạn có thể muốn sử dụng hình học thay vì đa đại số do một số lợi thế về lý thuyết và hiệu quả (ví dụ: khả năng tái phân bổ thay vì sử dụng toán tử lưới thô Galerkin). Các phương pháp đa đại số thường thuộc hai loại.

Đa đại số cổ điển

$M$

Tập hợp mịn

$A^T A$(cũng từ Mark Adams, chủ yếu là sự thay thế hoàn toàn cho Prometheus) và thành phần tổng hợp được làm mịn của mã GPU dựa trên CUDA CUSP .

Lưu ý rằng tất cả các phần mềm được đề cập ở trên có thể được truy cập thông qua một giao diện chung sử dụng PETSc .

"Multigrid" của Trottenberg, et al, là một cuốn sách tuyệt vời và có vẻ như hầu hết nó có sẵn trên sách của Google. Nó có một phụ lục về AMG và có lẽ bạn sẽ cần lấy một số nền tảng về MG từ phần còn lại của cuốn sách. "Một hướng dẫn đa điểm" cũng là một cuốn sách hay.

Tôi muốn đề xuất chương 8 của "Hướng dẫn đa luồng" (2Ed) của WL Briggs, VE Henson và SF McCormick. Nó đưa ra một ý tưởng chung về một số khái niệm quan trọng như độ mịn đại số và sự phụ thuộc mạnh mẽ. Nó cũng giải thích cách xác định toán tử nội suy (toán tử lưới thô) và cách chọn lưới thô.