Có thể giải quyết các PDE phi tuyến mà không cần sử dụng phép lặp Newton-Raphson không?

Tôi đang cố gắng để hiểu một số kết quả và sẽ đánh giá cao một số nhận xét chung về việc giải quyết các vấn đề phi tuyến.

Phương trình của Fisher (PDE khuếch tán phản ứng phi tuyến),

{bạn}_{t} = = d {bạn}_{x x} + β bạn (1 - bạn) = = F (bạn)

$u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u)$

ở dạng rời rạc,

{bạn}_{j}^{'} = = L bạn + β {bạn}_{j} (1 - {bạn}_{j}) = = F (bạn)

$u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u})$

trong đó là toán tử vi phân và là bản in rời rạc. $\boldsymbol{L}$ $\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$

phương pháp

Tôi muốn áp dụng một sơ đồ ngầm vì tôi yêu cầu sự ổn định và bước thời gian không hạn chế. Với mục đích này, tôi đang sử dụng $\theta$ -method, (lưu ý rằng $\theta=1$ đưa ra sơ đồ hoàn toàn ẩn và $\theta=0.5$ đưa ra sơ đồ hình thang hoặc "Crank-Nicolson"),

{bạn}_{j}^{'} = = θ F ({bạn}^{n + 1}) + (1 - θ) F ({bạn}^{n})

$u_{j}^{\prime} = \theta F(\boldsymbol{u}^{n+1}) + (1-\theta) F(\boldsymbol{u}^{n})$

Tuy nhiên, đối với các bài toán phi tuyến, điều này không thể thực hiện được vì phương trình không thể được viết dưới dạng tuyến tính.

Để giải quyết vấn đề này, tôi đã tìm hiểu hai cách tiếp cận số,

Phương pháp IMEX

$u_{j}^{'} = \underset{θ - method diffusion term}{\underset{⏟}{θ L u^{n + 1} + (1 - θ) L u^{n}}} + \underset{Thuật ngữ phản ứng hoàn toàn rõ ràng}{\underset{⏟}{β u_{j}^{n} (1 - u_{j}^{n})}}$ $u_j^{\prime} = \underbrace{\theta\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n+1}} + (1-\theta)\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n}}}_{\theta-\text{method diffusion term}} + \underbrace{\beta u_j^{n} (1 - u_j^{n})}_{\text{Fully explicit reaction term}}$
Lộ trình rõ ràng nhất là bỏ qua phần phi tuyến của thuật ngữ phản ứng và chỉ cập nhật thuật ngữ phản ứng với giá trị tốt nhất có thể, tức là từ bước thời gian trước đó. Điều này dẫn đến phương pháp IMEX.
Người giải quyết Newton

ν^{k + 1} = = ν^{k} - (Tôi - θ τ {Một}^{n})^{- 1} (ν^{k} - {bạn}_{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - u_{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

Phương trình -method đầy đủ có thể được giải bằng cách sử dụng phép lặp Newton-Raphson để tìm biến giải pháp trong tương lai. Trong đó là chỉ số lặp ( ) và là ma trận Jacobian của . Ở đây tôi sử dụng các ký hiệu cho các biến lặp sao cho chúng được phân biệt với nghiệm của phương trình tại một điểm thời gian thực . Đây thực sự là một bộ giải Newton được sửa đổi bởi vì Jacobian không được cập nhật với mỗi lần lặp. $\theta$ $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$

Các kết quả

Phương trình so sánh của phương pháp Fisher.

Các kết quả ở trên được tính cho bước thời gian hợp lý lớn và chúng cho thấy sự khác biệt giữa phương pháp bước thời gian và bộ giải lặp Newton đầy đủ.

Những điều tôi không hiểu:

Tôi ngạc nhiên rằng phương pháp bước thời gian thực hiện "OK" nhưng cuối cùng nó lại tụt lại phía sau giải pháp phân tích khi thời gian trôi qua. ( NB nếu tôi đã chọn bước thời gian nhỏ hơn thì phương pháp bước thời gian sẽ cho kết quả đóng cho mô hình phân tích). Tại sao cách tiếp cận bước thời gian cho kết quả hợp lý cho phương trình phi tuyến?
Mô hình Newton làm tốt hơn nhiều, nhưng bắt đầu dẫn dắt mô hình phân tích khi thời gian trôi qua. Tại sao độ chính xác của phương pháp Newton giảm theo thời gian? Độ chính xác có thể được cải thiện?
Tại sao có một đặc điểm chung là sau nhiều lần lặp thì mô hình số và mô hình phân tích bắt đầu phân kỳ? Đây chỉ là vì bước thời gian quá lớn hay điều này sẽ luôn xảy ra?

— tẩy chay
nguồn

Tôi khuyên bạn nên đọc phân tích lỗi cơ bản của bộ giải ODE, ví dụ như trong Hairer / Nørsett / Wanner, cộng với một số phân tích độ ổn định. Hầu hết các câu hỏi của bạn sẽ được trả lời sau đó.

— Guido Kanschat

@boyfarrell, để tránh sự nhầm lẫn của các độc giả, bạn nên đặt thuật ngữ ngay tại nơi giải thích phương pháp của bạn: 1. IMEX - rõ ràng trong tính phi tuyến tính và ẩn trong phần tuyến tính. 2. đây là tiêu chuẩn -scheme, thường sẽ yêu cầu phương pháp của Newton để giải quyết cập nhật

θ

$\theta$

— ngày

Xin chào @Jan Tôi nghĩ rằng tôi đã có tất cả mọi thứ. Cảm ơn một lần nữa vì sự giúp đỡ của bạn.

— boyfarrell

Câu trả lời:

Tôi giả sử rằng bạn đã tiến hành không gian, để bạn giải quyết ODE (giá trị véc tơ) ODE thông qua sơ đồ số nâng cao xấp xỉ tại thời điểm hiện tại đến giá trị tiếp theo tại .

{\dot{u}}_{h} (t) = F_{h} (t, u_{h} (t)), on [0,T], u_{h} (0) = α .

$\dot u_h(t) = F_h(t,u_h(t)), \text{ on [0,T] }, u_h(0) = \alpha.$

Φ

$\Phi$

u_{h}^{n}

$u_h^n$

t = t^{n}

$t=t^n$

u_{h}^{n + 1}

$u_h^{n+1}$

t = t^{n + 1} := t^{n} + τ

$t=t^{n+1}:=t^n+\tau$

Sau đó, câu hỏi của bạn đề cập đến các thuộc tính rõ ràng , trong đó bản cập nhật ghi là

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{e} (t^{n}, τ, u_{h}^{n}),

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_e(t^n,\tau,u_h^n),\quad \quad \quad$

ẩn , được viết như

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{i} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}), (*)

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_i(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n), \quad \quad \quad (*)$

hoặc kết hợp cả hai (' IMEX ', xem câu trả lời của bước @Jed Brown).

Trong thiết lập này, phương thức Newton đơn giản là một cách tiếp cận để giải quyết phi tuyến có thể có trong các hệ thống phát từ . $u_h^{n+1}$ $(*)$

Và câu trả lời của tôi dựa trên kết quả từ phân tích số của các phương pháp một bước.

Nếu bạn sử dụng các sơ đồ hội tụ, theo thứ tự hội tụ, không có lợi thế chung của việc sử dụng các sơ đồ ngầm (xem. 2.). Tuy nhiên, đối với các hệ thống cứng, ví dụ: hệ thống của bạn có chứa Laplacian, có các sơ đồ ngầm ổn định mà không bị giới hạn bước thời gian. Tuy nhiên, về mặt lý thuyết, đối với sơ đồ rõ ràng, bạn sẽ có kết quả tốt hơn với các bước thời gian nhỏ hơn, miễn là bản thân phương trình của bạn ổn định (ví dụ: tham khảo Định lý Picard-Lindelof, nếu là Lipshitz trong đối số thứ hai) và thời gian của bạn -step không quá nhỏ. $F_h$
Bạn có thể tìm thấy các ví dụ, trong đó các sơ đồ rõ ràng thực hiện tốt hơn. (Về mặt lý thuyết, bạn có thể đảo ngược thời gian trong ví dụ của mình, bắt đầu từ giá trị đầu cuối và tìm thấy sự thay thế ngầm và rõ ràng.) Nếu bạn tạo ra lỗi Newton đủ nhỏ, bạn vẫn có thể cải thiện độ chính xác bằng cách giảm thời gian hoặc sử dụng thời gian kế hoạch bước chân của trật tự cao hơn.
Hằng số trong ước tính lỗi cho lỗi toàn cầu tăng theo cấp số nhân với độ dài của khoảng thời gian. Xem, ví dụ, ở đây cho sơ đồ Euler rõ ràng. Điều này đúng cho mọi phương pháp một bước. Vì ước tính thuộc loại , , bước thời gian nhỏ hơn chỉ hoãn lại hiệu ứng này. $C$ $err \approx C \tau^p$ $p>0$ $\tau$

Một số nhận xét và câu trả lời cuối cùng:

Các sơ đồ IMEX có thể được sử dụng để chỉ xử lý phần tuyến tính ngầm những gì tránh được các giải phi tuyến. Xem câu trả lời của Jed Brown.
Crank-Nicolson là phương pháp một bước. 'Đa' trong các phương thức nhiều bước đề cập đến việc sử dụng một số dấu thời gian trước đó để xác định bản cập nhật hiện tại. Ví dụ như Điều này rất khác với các phương pháp một bước và cả bước tách hoặc IMEX, trong đó bản cập nhật được xác định không lặp lại với các giá trị trước đó. $u_{h}^{n + 1} = Φ_{m} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n - 1}) .$ $u_h^{n+1} = \Phi_m(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n,u_h^{n-1}).$

Vì vậy, câu trả lời của tôi là: Có , bạn có thể giải các PDE phi tuyến mà không cần phương pháp của Newton. Bạn có thể sử dụng các lược đồ rõ ràng, các lược đồ 'IMEX' hoặc các phương thức ngầm định tuyến tính (ví dụ: các phương thức Rosenbrock). Ngoài ra, bạn có thể sử dụng các phương pháp khác để giải quyết các hệ thống từ như phép lặp điểm cố định hoặc, trong trường hợp cụ thể, người giải đại số. $(*)$

— tháng một
nguồn

Có, tôi đã áp dụng tiêu chuẩn khác biệt trung tâm cho thuật ngữ khuếch tán. Tôi không thể sử dụng sơ đồ rõ ràng (cho vấn đề thực sự tôi muốn giải quyết) vì bước thời gian ổn định là nhỏ một cách phi thực tế. Đây là lý do tại sao tôi đang khám phá IMEX hoặc các tùy chọn ngầm. Về điểm thứ ba của bạn, để tránh tích lũy lỗi, tôi phải sử dụng phương pháp nhiều bước. Là sơ đồ Crank-Nicolson mà tôi đã sử dụng ở trên (với bộ giải Newton) được phân loại là phương pháp nhiều bước (nó có hai điểm trong thời gian)? Tôi đã ngạc nhiên khi lỗi tăng theo thời gian khi sử dụng phương pháp bộ giải Newton.

— boyfarrell

Crank-Nicolson là phương pháp một bước, vì nó viết là . Ngoài ra, tôi không thấy lý do tại sao các sơ đồ nhiều bước nên tránh tích lũy lỗi.

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ (t^{n}, τ^{n}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n + 1})

$u_h^{n+1}=u_h^n + \Phi(t^n,\tau^n,u_h^n,u_h^{n+1})$

— Jan

OK cảm ơn đã giải thích về phương pháp CN. Vâng, thật thú vị tại sao các phương thức nhiều bước dường như có tích lũy lỗi thấp hơn. Lý do mà bộ giải Newton có lỗi tích tụ là vì đây là phương pháp một bước duy nhất, giờ tôi đã hiểu. Nhân tiện, tôi biết bạn thích Python. Tôi đã làm tất cả những điều trên bằng cách sử dụng scipy, numpy và matplotlib, gist.github.com/danieljfarrell/6353776

— boyfarrell

Tôi đã xóa liên kết đến bài báo của Trefethen et. al. về tích hợp IMEX theo thứ tự cao từ câu trả lời của tôi vì có nhiều tài liệu tham khảo tốt hơn để tìm hiểu về các chương trình IMEX.

— Ngày 1 tháng

Câu trả lời ngắn

Nếu bạn chỉ muốn độ chính xác của lệnh thứ hai và không có ước tính lỗi được nhúng, rất có thể bạn sẽ hài lòng với phân tách Strang: nửa bước phản ứng, bước khuếch tán đầy đủ, nửa bước phản ứng.

Câu trả lời dài

Phản ứng-khuếch tán, ngay cả với phản ứng tuyến tính, nổi tiếng với việc chứng minh lỗi phân tách. Thật vậy, nó có thể tồi tệ hơn nhiều, bao gồm cả "hội tụ" đến trạng thái ổn định không chính xác, nhầm trạng thái ổn định cho chu kỳ giới hạn, nhầm lẫn giữa cấu hình ổn định và không ổn định, v.v. Xem Ropp, Shadid và Ober (2004) và Knoll, Chacon, Margolin và Mousseau (2003) để biết quan điểm của các nhà vật lý tính toán về vấn đề này. Đối với phân tích của nhà toán học về các điều kiện thứ tự, hãy xem cuốn sách của Hairer và Wanner về ODE cứng (phương pháp Rosenbrock-W là phương pháp IMEX ẩn tuyến tính), Kennedy và Carpenter (2003) cho IMEX "phụ gia" phi tuyến tính "Runge-Kutta," và trang của Emil Constantinescu cho các phương pháp IMEX gần đây hơn.

Nói chung, các phương thức IMEX có nhiều điều kiện đặt hàng hơn các phương thức ngầm định và rõ ràng cơ bản. Các cặp phương thức IMEX có thể được thiết kế với độ ổn định tuyến tính và phi tuyến mong muốn và sao cho chúng thỏa mãn tất cả các điều kiện thứ tự theo thứ tự thiết kế của phương thức. Đáp ứng tất cả các điều kiện đặt hàng sẽ giữ cho lỗi phân tách tiệm cận có cùng tỷ lệ với lỗi trong từng sơ đồ riêng biệt. Nó không nói gì về chế độ tiền tiệm cận (các bước thời gian lớn / yêu cầu độ chính xác thấp), nhưng hiếm khi nghiêm ngặt hơn độ phân giải của từng phần riêng biệt. Trong mọi trường hợp, lỗi phân tách được hiển thị cho trình ước tính lỗi được nhúng (khi sử dụng điều khiển lỗi thích ứng).

PETSc có nhiều phương pháp IMEX của các họ Rosenbrock-W và phụ gia Runge-Kutta , và sẽ có phép ngoại suy và đa tuyến tính IMEX trong phiên bản tiếp theo của chúng tôi.

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Tôi đã viết nhiều về hỗ trợ tích hợp thời gian của PETSc và cộng tác với Emil (được liên kết ở trên).

— Jed Brown
nguồn

Tôi chắc chắn đang tiếp cận điều này từ góc độ vật lý vì vậy tất cả các chi tiết kỹ thuật phải mất một thời gian để tôi làm theo vì tôi không quen thuộc với nhiều thuật ngữ. Tôi thực sự là một nhà thực nghiệm! Bạn sẽ giải thích thêm một chút về điều kiện đặt hàng? IMEX là những phương pháp nhiều bước được đề cập bởi Jan?

— boyfarrell

Các điều kiện đặt hàng là các mối quan hệ giữa các hệ số của các phương thức ODE (ví dụ: các mục trong biểu đồ Butcher cho các phương thức Runge-Kutta) phải được thỏa mãn để có thứ tự chính xác. Các điều kiện đặt hàng được thảo luận trong bất kỳ cuốn sách hoặc bài báo nào thiết kế các phương thức tích hợp ODE, nhưng về cơ bản, nó tương đương với việc áp dụng nhiều lần các công cụ phái sinh và các điều khoản phù hợp trong bản mở rộng Taylor. Số lượng điều kiện đặt hàng tăng nhanh đối với các phương thức bậc cao, đó là lý do tại sao việc thiết kế các phương thức bậc cao trở nên khó khăn. Rào cản được thiết lập bằng cách chỉ ra rằng các điều kiện đặt hàng không tương thích lẫn nhau.

— Jed Brown