Tính liên tục của hàm riêng của ma trận tham số

Tôi có ma trận chiều tùy thuộc vào vector tham số .H ( → k ) → $n$$\mathrm{\hat{H}}(\vec{k})$$\vec{k}$

Bây giờ, các thường trình eigenvalue trả về các giá trị riêng không theo thứ tự cụ thể (chúng thường được sắp xếp), nhưng tôi muốn theo dõi các giá trị riêng dưới dạng các hàm trơn tru của . Vì các giá trị riêng không được trả về theo bất kỳ thứ tự cụ thể nào, chỉ cần theo dõi cho một số chỉ mục cụ thể sẽ trả về tập hợp các dòng không trơn tru, như được hiển thị dưới hình ảnh dưới đây→ k E i i ∈ { 1 , . . , n $E_i$$\vec{k}$$E_i$$i\in\{1,..,n\}$

Ý tưởng của tôi để theo dõi các dòng liên tục là sử dụng eigenvector. Cụ thể, đối với hai điểm gần và vector riêng nên xấp xỉ trực giao để trong đó và là một số hoán vị. Sau đó, tôi sẽ sử dụng hoán vị đã cho để sắp xếp lại các giá trị riêng và do đó theo dõi các đường trơn.→ k +d → k vi( → k )⋅vj( → k +d → k )~δpipjpi,pj∈π({1,...,N})$\vec{k}$$\vec{k}+d\vec{k}$$v_i(\vec{k})\cdot v_j(\vec{k}+d\vec{k})\sim \delta_{p_i p_j}$$p_i, p_j\in \pi(\{1,...,n\})$$\pi$

Tôi nói cách khác, tôi sẽ theo dõi sự liên tục của người bản địa.

Tuy nhiên, tôi gặp phải một số vấn đề với thói quen số. Tại một tập hợp nhỏ các điểm tôi sử dụng, một vài hàm riêng tại các điểm gần đó không gần như là trực giao. Sự nghi ngờ đầu tiên của tôi là những người bản địa đó tương ứng với một giá trị riêng bị thoái hóa, nhưng điều đó không phải lúc nào cũng đúng.

$d\vec{k}$

Là điều như vậy được phép xảy ra. Hoặc, có thể đảm bảo rằng các thói quen số trả về các hàm riêng liên tục? Thường trình tôi sử dụng là numpy.linalg.eigh, một giao diện cho zheevd từ LAPACK.

(Các nhà vật lý trong số các bạn sẽ nhận ra rằng tôi đang nói về cấu trúc ban nhạc)

Tại các điểm mà hai dòng hợp nhất, bạn có hai giá trị riêng giống nhau và do đó, không gian eigens tương ứng với hai hàm riêng này là hai chiều. Điều này có nghĩa là tại thời điểm đó, hai hàm riêng không còn là duy nhất (không chỉ là một dấu hiệu) mà có thể là bất kỳ trong số vô số các vectơ trực giao có thể trải rộng trong không gian hai chiều này.

$k$

Tôi làm việc trong điện từ, vì vậy tôi phải tính toán các cấu trúc dải quang tử. Tôi đã từng cố gắng làm cho các ban nhạc trở nên trơn tru bằng cách cố gắng phát hiện các điểm giao nhau, nhưng sau nhiều nỗ lực và thảo luận với đồng nghiệp, cuối cùng chúng tôi đã kết luận rằng không có cách nào hay lý do thực sự tốt để làm điều đó.

Nhưng, nếu bạn vẫn khăng khăng làm những gì bạn muốn, bạn muốn xem xét các dẫn xuất eigenvalue liên quan đến k. Có khá nhiều tài liệu về vấn đề này, chủ yếu dựa trên lý thuyết nhiễu loạn về các vấn đề eigenvalue (cuốn sách kinh điển của Kato), và cũng làm việc về phân tích nhiễu loạn với sự hiện diện của suy thoái eigenvalue (một vấn đề khó hơn nhiều, văn học của Roger CE Tan). Tôi sẽ cố gắng làm điều này cho trường hợp không suy giảm trước, vì điều đó vẫn tương đối dễ dàng.