Jacobi ẩm ướt
Giả sử ma trận có đường chéo . Nếu phổ của nằm trong khoảng của trục thực dương, thì ma trận lặp của Jacobi với hệ số giảm xóc
có phổ trong phạm vi , do đó giảm thiểu bán kính phổ với cho hệ số hội tụ của
Nếu , thì hệ số hội tụ này rất kém, như mong đợi. Lưu ý rằng việc ước tính là tương đối dễ dàngADD−1A[a,b]ω
BJacobi=I−ωD−1A
[1−ωb,1−ωa]ωopt=2a+b
ρopt=1−2aa+b=b−aa+b.
a≪bbsử dụng phương pháp Krylov, nhưng khá tốn kém để ước tính .
a
Thư giãn quá mức (SOR)
Young (1950) đã chứng minh một kết quả tối ưu cho SOR áp dụng cho ma trận với cái gọi là tài sản Một , đặt hàng phù hợp , và giá trị riêng thực dương của . Đưa ra một giá trị riêng tối đa của ma trận lặp Jacobi không bị suy giảm ( được đảm bảo bởi các giả định trong trường hợp này), hệ số giảm xóc tối ưu cho SOR là
dẫn đến tốc độ hội tụ của
Lưu ý rằng tiếp cận 2 khi .D−1AμmaxI−D−1Aμmax<1
ωopt=1+(μmax1+1−μ2max−−−−−−−√)2
ρopt=ωopt−1.
ωoptμmax→1
Bình luận
Nó không còn là năm 1950 nữa và thực sự không có ý nghĩa gì khi sử dụng các phương pháp lặp cố định làm người giải quyết. Thay vào đó, chúng tôi sử dụng chúng như là chất làm mịn cho multigrid. Trong bối cảnh này, chúng tôi chỉ quan tâm đến mục tiêu phía trên của phổ. Tối ưu hóa hệ số thư giãn trong SOR khiến SOR tạo ra rất ít giảm tần số cao (để đổi lấy sự hội tụ tốt hơn ở tần số thấp hơn), do đó, tốt hơn là sử dụng Gauss-Seidel tiêu chuẩn, tương ứng với trong SOR. Đối với các vấn đề không đối xứng và các vấn đề có hệ số biến đổi cao, SOR không thoải mái ( ) có thể có các đặc tính giảm xóc tốt hơn.ω=1ω<1
Ước tính cả hai giá trị riêng của là đắt, nhưng giá trị riêng lớn nhất có thể được ước tính nhanh chóng bằng cách sử dụng một vài lần lặp Krylov. Chất làm mịn đa thức (tiền điều kiện với Jacobi) có hiệu quả hơn so với nhiều lần lặp của Jacobi bị ẩm và dễ cấu hình hơn, vì vậy chúng nên được ưu tiên. Xem câu trả lời này để biết thêm về làm mịn đa thức.D−1A
Đôi khi người ta cho rằng SOR không nên được sử dụng như một điều kiện tiên quyết cho các phương pháp Krylov như GMRES. Điều này xuất phát từ việc quan sát rằng tham số thư giãn tối ưu sẽ đặt tất cả các giá trị riêng của ma trận lặp trên một vòng tròn tập trung tại nguồn gốc. Phổ của toán tử tiền điều kiện(1
BSOR=1−(1ωD+L)−1A
(1ωD+L)−1Acó các giá trị riêng trên một vòng tròn có cùng bán kính, nhưng tập trung vào 1. Đối với các toán tử có điều kiện kém, bán kính của vòng tròn khá gần với 1, vì vậy GMRES thấy các giá trị riêng gần với gốc ở một góc, thường không tốt để hội tụ. Trong thực tế, GMRES có thể hội tụ hợp lý khi tiền điều kiện với SOR, đặc biệt đối với các vấn đề đã được điều hòa khá tốt, nhưng các điều kiện tiên quyết khác thường hiệu quả hơn.