Áp dụng điều kiện biên Dirichlet cho phương trình Poisson với phương pháp thể tích hữu hạn

Tôi muốn biết làm thế nào các điều kiện Dirichlet thường được áp dụng khi sử dụng phương pháp thể tích hữu hạn trên lưới không đồng nhất tập trung vào ô,

Việc triển khai hiện tại của tôi chỉ đơn giản là áp đặt điều kiện biên để tôi sửa giá trị của ô đầu tiên,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

Trong đó là biến giải pháp và là giá trị điều kiện biên Dirichlet tại lhs của miền ( NB ). Tuy nhiên, điều này là không chính xác vì điều kiện biên nên sửa giá trị của mặt ô chứ không phải giá trị của chính ô . Những gì tôi thực sự nên áp dụng là,g D ( x L ) x L ≡ x 1 /$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Ví dụ: hãy giải phương trình Poisson,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

với điều kiện ban đầu và điều kiện biên,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(trong đó là điều kiện biên Neumann ở phía bên tay phải).$g_N(x_R)$

Lưu ý cách giải pháp số đã cố định giá trị của biến ô thành giá trị điều kiện biên ( ) ở phía bên trái. Điều này có ảnh hưởng của việc chuyển toàn bộ giải pháp lên trên. Hiệu quả có thể được giảm thiểu bằng cách sử dụng một số lượng lớn các điểm lưới nhưng đó không phải là một giải pháp tốt cho vấn đề.$g_D(x_L)=0$

Câu hỏi

Những điều kiện biên Dirichlet được áp dụng khi sử dụng phương pháp thể tích hữu hạn là gì? Tôi giả sử tôi cần sửa giá trị của bằng cách nội suy hoặc ngoại suy bằng cách sử dụng (điểm ma) hoặc sao cho đường thẳng đi qua các điểm này có giá trị mong muốn tại . Bạn có thể cung cấp bất kỳ hướng dẫn hoặc một ví dụ về cách làm điều này cho một lưới không tập trung vào ô không?φ 0 φ 2 x $\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

---

Cập nhật

Đây là nỗ lực của tôi trong việc sử dụng một phương pháp tế bào ma mà bạn đề xuất, nó có hợp lý không?

Phương trình của ô là (trong đó đại diện cho thông lượng của ),F$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

Chúng ta cần viết về điều kiện biên bằng một ô ma , Ω $\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

Nhưng cuối cùng chúng ta cần loại bỏ thuật ngữ khỏi phương trình. Để thực hiện điều này, chúng ta viết một phương trình thứ hai là phép nội suy tuyến tính từ trung tâm của ô đến trung tâm của ô . Thuận tiện dòng này đi qua , vì vậy đây là cách các điều kiện Dirichlet đi vào sự rời rạc (vì giá trị tại thời điểm này chỉ là ),Ω 0 Ω 1 x L g D ( x L$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

Kết hợp các phương trình 1 và 2, chúng ta có thể loại bỏ và tìm một biểu thức cho theo và ,F L ϕ 1 g D ( x L$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

Giả sử rằng chúng ta có thể tự do chọn âm lượng của ô ma, chúng ta có thể đặt để cung cấp,$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

Điều này có thể được đơn giản hóa hơn nữa bởi vì nếu các ô và có cùng âm lượng thì cuối cùng chúng ta có thể đặt ,Ω 1 h - → h $\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Tuy nhiên, cách tiếp cận này đã phục hồi định nghĩa không ổn định nên tôi không chắc chắn nên tiến hành như thế nào? Tôi đã giải thích lời khuyên của bạn không chính xác (@Jan)? Điều kỳ lạ là dường như hoạt động, xem bên dưới,

Xem bên dưới, nó hoạt động,

Trong phân tích độ ổn định của các phân biệt FVM cho các vấn đề elip với Dirichlet BC, một giả định trung tâm là các ô bên trong , nơi bạn nêu PDE, không có giao điểm với ranh giới, tức là nếu được xem như một tập hợp trong nếu tên miền của bạn , cf, ví dụ: cuốn sách của [ Grossmann & Roos , p. 92]R n - 1 Ohm ⊂ R

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

Do đó, nếu trong thiết lập của bạn, cách tiếp cận không ổn định, điều này không mâu thuẫn với kết quả ổn định đã biết. EDIT : Sử dụng một ô ma và phép nội suy tuyến tính vào nó, cho một sự lựa chọn cụ thể về âm lượng và khoảng cách, người ta lấy làm thông lượng. Do đó, thực sự là một chương trình ổn định.( ∗ ∗ ) ( ∗ ∗

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

Tính ổn định và độ hội tụ (theo thứ tự đầu tiên trong định mức tối đa riêng biệt) cho bài toán poisson đã được Grossmann & Roos chứng minh cho các lưới, với các ô ranh giới khác biệt với "tâm" của chúng trên ranh giới thực như minh họa trong bản vẽ của tôi cho trường hợp 1D.

Ở đây, thương số chênh lệch trên giao diện được tính gần đúng theo cách đơn giản.

Tôi muốn nói rằng các tế bào ma là cách tiếp cận phổ biến, vì hai lý do.

• Họ bắt chước tình huống ổn định được mô tả trong bản vẽ của tôi nhưng với điều kiện biên được nội suy
• Chúng chỉ đơn giản là gắn liền với ranh giới vật lý. Do đó, người ta có thể sử dụng một tam giác của miền, điều này cũng có lợi, vì người ta thường có các BC tự nhiên được áp đặt trực tiếp trên giao diện [ Grossmann & Roos , p. 101].

Vì vậy, tôi khuyên bạn nên sử dụng các ô ma cho ranh giới Dirichlet. Trong ví dụ của bạn, điều này sẽ thêm vào hệ thống của bạn và với điều kiện là một nội suy giữa , và có thể những người khác bằng ở ranh giới.φ 0 φ 1 g $\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

Cách tiếp cận "đường thẳng" của bạn có nghĩa là , trong đó là vị trí của ranh giới và là vị trí của các địa điểm nơi bạn xác định . Điều này có nghĩa là bạn có thể loại bỏ về mặt , giống như cách tiếp cận đầu tiên của bạn, bạn đã loại bỏ ngay lập tức bằng cách đặt nó về 0.$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Những gì bạn tìm thấy ở đây là tại sao khối lượng hữu hạn không được sử dụng thường xuyên cho các phương trình elip mà người ta đặt ra các điều kiện Dirichlet. Chúng được sử dụng cho các luật bảo tồn trong đó các điều kiện tự nhiên hơn được nêu dưới dạng thông lượng.

Giả sử rằng dạng khối lượng hữu hạn của phương trình Poisson có thể được viết là Tất nhiên, bạn có thể viết xấp xỉ thông thường Có một số phép tinh tế liên quan đến lưới không đồng nhất mà tôi bỏ qua ở đây.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

Bây giờ câu hỏi là về cách bạn ước tính sao cho bạn có thể kết hợp bc . Một khả năng là thay đổi khuôn tô gần đúng của bạn so với các mẫu tô thông thường để nó bao gồm các điểm , và . Nếu bộ nhớ của tôi phục vụ cho tôi một cách chính xác, thì xấp xỉ đó là (giả sử một lưới đồng nhất có khoảng cách , vì vậy bạn sẽ cần phải mở rộng điều này) $(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$(d

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ nhưng điều này cần được kiểm tra Trong phép tính gần đúng đó là chính xác bậc hai, bạn có thể kết hợp bc của mình Tất nhiên, phép tính xấp xỉ chính xác đơn giản hơn và chỉ đơn hàng đầu tiên sẽ là Theo cách này, điều kiện biên Dirichlet chỉ được thực thi "yếu" (nghĩa là thông qua một dòng). Như đã nhận xét bởi Wolfgang, đây là một trong (lý do?) Tại sao các phương pháp thể tích hữu hạn không được sử dụng cho các vấn đề elip nhiều như các phương pháp phần tử hữu hạn. $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

Tất nhiên, một điều cũng cần phải được kiểm tra là sự ổn định của sự rời rạc của bạn với xấp xỉ bậc hai ở ranh giới. Ngoài đỉnh đầu, tôi không biết liệu nó có ổn định hay không kết hợp với xấp xỉ bậc hai ở giữa. Một phân tích ổn định ma trận sẽ cho bạn biết chắc chắn. (Tôi gần như chắc chắn rằng xấp xỉ thứ tự đầu tiên tại ranh giới sẽ ổn định.)

Bạn đề cập đến khả năng sử dụng điểm ma. Điều này dẫn đến vấn đề bạn cần ngoại suy từ bên trong vào điểm ma và sử dụng bc trong quy trình. Tôi nghi ngờ, nhưng chưa "chứng minh" điều đó, rằng ít nhất một số phương pháp điều trị điểm ma tương đương với việc sử dụng cách tiếp cận mà tôi đã nêu ở trên.

Mong rằng điều này giúp được chút ít.